每日一题[2944]极值偏移

已知函数 $f(x)=x-2-\ln ^2 x-a \ln x$（$a \in \mathbb R$）．

1、令 $g(x)=x f^{\prime}(x)$，讨论 $g(x)$ 的单调性并求极值．

2、令 $h(x)=f(x)+2+\ln ^2 x$，若 $h(x)$ 有两个零点．

① 求 $a$ 的取值范围；

② 若方程 $x {\rm e}^x-a(\ln x+x)=0$ 有两个实数解 $x_1, x_2$，证明：${\rm e}^{x_1+x_2}>\dfrac{{\rm e}^2}{x_1 x_2}$．

解析

1、根据题意，有

$$f'(x)=\dfrac{x-2\ln x-a}{x},$$ 于是 $$g(x)=x-2\ln x-a,$$ 其导函数 $$g'(x)=\dfrac{x-2}{x},$$ 于是函数 $g(x)$ 在 $(0,2)$ 上单调递减，在 $(2,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=2$ 处取得极小值 $2-2\ln 2-a$，没有极大值．

2、函数 $h(x)=x-a\ln x$，于是

$$h(x)=0\iff \dfrac 1a=\dfrac{\ln x}{x},$$ 设 $g(x)=\dfrac{\ln x}{x}$，则 $$g'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2},$$ 于是 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0+&(0,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)&+\infty\\ \hline g(x)&-\infty&\nearrow&\dfrac{1}{\rm e}&\searrow&0\\ \hline \end{array}$$

① 若 $h(x)$ 有两个零点，则 $\dfrac 1a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$，因此实数 $a$ 的取值范围是 $({\rm e},+\infty)$．

② 根据题意，有

$$x_1{\rm e}^{x_1}-a(\ln x_1+x_1)=x_2{\rm e}^{x_2}-a(\ln x_2+x_2)=0,$$ 记 $t_1=x_1{\rm e}^{x_1}$，$t_2=x_2{\rm e}^{x_2}$，则 $$t_1-a\ln t_1=t_2-a\ln t_2=0,$$ 根据对数平均不等式，有 $$\sqrt{t_1t_2}<\dfrac{t_1-t_2}{\ln t_1-\ln t_2}=a<\dfrac{t_1+t_2}2,$$ 从而 $$t_1t_2<a^2,\quad t_1+t_2>2a.$$ 欲证不等式即 $$t_1t_2>{\rm e}^2\iff \ln t_1+\ln t_2>2\iff \dfrac{t_1+t_2}a>2,$$ 因此命题得证．