每日一题[2941]横竖一死

已知函数 $f(x)=-a \ln x-\dfrac{{\rm e}^x}{x}+a x$（$a \in\mathbb R$）．

1、当 $a<0$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性．

2、设 $g(x)=f(x)+x f^{\prime}(x)$，若关于 $x$ 的不等式 $g(x) \leqslant-{\rm e}^x+\dfrac{x^2}{2}+(a-1) x$ 在 $[1,2]$ 上有解，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=-\dfrac ax-\dfrac{x{\rm e}^x-{\rm e}^x}{x^2}+a=\dfrac{\left(ax-{\rm e}^x\right)(x-1)}{x^2},$$ 于是函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减．

2、根据题意，有 $$g(x)=-a\ln x-{\rm e}^x+2ax-a,$$ 于是题意即 $$\exists x\in [1,2],~a\ln x+\dfrac 12x^2-(a+1)x+a\geqslant 0,$$ 设不等式左侧为函数 $h(x)$，则 $h(1)=-\dfrac 12$，$h(2)=(\ln 2-1)a$，因此当 $a\leqslant 0$ 时，有 $h(2)\geqslant 0$ 符合题意． 当 $a>0$ 时，有 $$h'(x)=\dfrac ax+x-(a+1)=\dfrac{x-1}{x}\cdot (-x+a),$$ 因此 $h(x)$ 在 $x\in[1,2]$ 时或者单调，或者先递增后递减，因此 $$\exists x\in[1,2],~h(x)\ge0\iff h(2)\geqslant 0,$$ 不符合题意． 综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,0]$．