每日一题[2940]委婉表达

设 $a \in \mathbb R$，函数 $f(x)=\dfrac{x-a}{(x+a)^2}$．

1、若函数 $f(x)$ 在 $(0, f(0))$ 处的切线与直线 $y=3 x-2$ 平行，求 $a$ 的值．

2、若对于定义域内的任意 $x_1$，总存在 $x_2$ 使得 $f\left(x_2\right)<f\left(x_1\right)$，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{3a-x}{(x+a)^3},$$ 函数 $f(x)$ 在 $(0, f(0))$ 处的切线与直线 $y=3 x-2$ 平行，于是 $$\begin{cases} f(0)\ne -2,\\ f'(0)=3,\end{cases}\iff \begin{cases} -\dfrac 1a\ne -2,\\ \dfrac{3}{a^2}=3,\end{cases}\iff a=\pm 1.$$

2、题意即函数 $f(x)$ 在定义域内没有最小值，讨论分界点为 $3a=-a$，即 $a=0$．

若 $a=0$，则 $f(x)=\dfrac{1}{x}$，符合题意；

若 $a>0$，则当 $x\to -a$ 时，$f(x)\to -\infty$，因此 $f(x)$ 没有最小值，符合题意；

若 $a<0$，则

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&-\infty&(-\infty,3a)&3a&(3a,-a)&(-a)^+&(-a)^-&(-a,+\infty)&+\infty\\ \hline f(x)&0&\searrow&\text{极小值}&\nearrow&+\infty&+\infty&\searrow&0\\ \hline \end{array}$$ 因此函数 $f(x)$ 在 $x=3a$ 处取得极小值，也为最小值，不符合题意．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $[0,+\infty)$．