每日一题[2936]极值估计

已知函数 $f(x)=x(a+\ln x)$ 有极小值 $-{\rm e}^{-2}$．

1、求实数 $a$ 的值．

2、若 $k \in\mathbb Z$，且 $k(x-1)<f(x)$ 对任意 $x>1$ 恒成立，求 $k$ 的最大值．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=a+1+\ln x,$$ 于是当 $x={\rm e}^{-a-1}$ 时函数 $f(x)$ 取得极小值 $$f\left({\rm e}^{-a-1}\right)=-{\rm e}^{-a-1},$$ 由函数 $f(x)=x(a+\ln x)$ 有极小值 $-{\rm e}^{-2}$ 解得 $a=1$．

2、根据题意，有

$$\forall x>1,~k<\dfrac{x(1+\ln x)}{x-1},$$ 设右侧函数为 $g(x)$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{x-2-\ln x}{(x-1)^2},$$ 设 $h(x)=x-2-\ln x$，则其导函数 $$h'(x)=\dfrac{x-1}2,$$ 于是 $h(x)$ 在 $x\in (1,+\infty)$ 上单调递增，从而 $g(x)$ 在 $(1,m)$ 上单调递减，在 $(m,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=m$ 处取得极小值，也为最小值 $$M=\dfrac{m(1+\ln m)}{m-1},$$ 其中 $m-2-\ln m=0$．将 $\ln m=m-2$ 代入，可得 $$M=\dfrac{m(1+(m-2)}{m-1}=m,$$ 而 $g(3)=1-\ln 3<0<g(4)=2(1-\ln 2)$，因此 $M\in (3,4)$，从而 $k$ 的最大值为 $3$．