每日一题[2934]公切线

求证：当 $a>{\rm e}^{\frac 1{\rm e}}$ 时，函数 $f(x)=a^x$ 和函数 $g(x)={\log_a}x$ 的图象存在公切线．

解析    设函数 $f(x)=a^x$ 和函数 $g(x)={\log_a}x$ 的图象存在公切线，分别与函数 $f(x)=a^x$ 和函数 $g(x)={\log_a}x$ 的图象切于点 $(x_1,f(x_1))$ 和 $(x_2,g(x_2))$，则

$$\begin{cases} f'(x_1)=g'(x_2),\\ -x_1f'(x_1)+f(x_1)=-x_2g'(x_2)+g(x_2),\end{cases}$$ 即 $$\begin{cases}a^{x_1} \ln a =\dfrac{1}{x_2\ln a},\\ -x_1a^{x_1}\ln a+a^{x_1}=-\dfrac{1}{\ln a}+\dfrac{\ln x_2}{\ln a},\end{cases}$$ 也即 $$\begin{cases} x_1=-\dfrac{\ln x_2+2\ln\ln a}{\ln a},\\ \dfrac{\ln x_2+2\ln\ln a}{x_2\ln^2 a}+\dfrac{1}{x_2\ln^2a}=-\dfrac{1}{\ln a}+\dfrac{\ln x_2}{\ln a},\end{cases}$$ 第二个方程即 $$x_2\ln x_2\ln a-x_2\ln a-\ln x_2-2\ln\ln a-1=0,$$ 设 $h(x)=mx\ln x-mx-\ln x-2\ln m-1$，其中 $m=\ln a$（$m>\dfrac{1}{\rm e}$），则其导函数 $$h'(x)=m\ln x-\dfrac 1x,$$ 该函数单调递增，于是有唯一零点 $x=t$，且函数 $h(x)$ 的极大值，也为最大值 $$T=h(t)=mt\ln t-mt-\ln t-2\ln m-1,$$ 其中 $m\ln t-\dfrac 1t=0$，从而 $m=\dfrac{1}{t\ln t}$（$1<t<{\rm e}$），进而 $$T=-\dfrac{1}{\ln t}+\ln t+2\ln\ln t,$$ 由于 $0<\ln t<1$，根据对数的进阶放缩，有 $$\ln\ln t>\dfrac 12\left(\ln t-\dfrac{1}{\ln t}\right)\implies T>0,$$ 从而当 $a>{\rm e}^{\frac{1}{\rm e}}$ 时，方程 $h(x)=0$ 有解，也即函数 $f(x)=a^x$ 和函数 $g(x)={\log_a}x$ 的图象存在公切线．