每日一题[2933]两次中点

在直角三角形 $ABC$ 中，$AB=1$，$BC=2$，$D$ 为斜边 $AC$ 上一动点，将 $\triangle ABD$ 沿 $BD$ 翻折到 $\triangle A_1BD$，使得二面角 $A-BD-A_1$ 为 $\dfrac{\pi}3$，则 $A_1C$ 的最小值是_______．

答案    $2$．

解析    作 $AH\perp BD$ 于 $H$，连接 $A_1H$，则 $\angle AHA_1$ 为二面角 $A-BD-A_1$ 的平面角，进而 $\triangle AHA_1$ 为正三角形，$A_1$ 在底面 $BCD$ 上的投影为 $AH$ 的中点 $M$．

此时 $H$ 为以 $AB$ 为直径的圆 $O$（$O$ 为 $AB$ 的中点）上运动．

因此

$$\begin{split} A_1C^2&=A_1M^2+MC^2\\ &=3AM^2+MC^2\\ &=\dfrac 34AH^2+\left(\dfrac 12AC^2+\dfrac 12CH^2-\dfrac14AH^2\right)\\ &=\dfrac 12AC^2+\dfrac 12CH^2+\dfrac 12AH^2\\ &=\dfrac12AC^2+HN^2+\dfrac14AC^2\\ &\geqslant \dfrac 34AC^2+\left(ON-\dfrac 12AB\right)^2,\\ &=\dfrac 34AC^2+\left(\dfrac 12BC-\dfrac 12AB\right)^2\\ &=AC^2-\dfrac 12\cdot AB\cdot BC\\ &=4, \end{split}$$ 因此 $AC_1$ 的最小值为 $2$，其中 $N$ 为 $AC$ 的中点，等号当 $H$ 在 $ON$ 上时取得．