在直角三角形 ABC 中,AB=1,BC=2,D 为斜边 AC 上一动点,将 △ABD 沿 BD 翻折到 △A1BD,使得二面角 A−BD−A1 为 π3,则 A1C 的最小值是_______.
答案 2.
解析 作 AH⊥BD 于 H,连接 A1H,则 ∠AHA1 为二面角 A−BD−A1 的平面角,进而 △AHA1 为正三角形,A1 在底面 BCD 上的投影为 AH 的中点 M.
此时 H 为以 AB 为直径的圆 O(O 为 AB 的中点)上运动.
因此A1C2=A1M2+MC2=3AM2+MC2=34AH2+(12AC2+12CH2−14AH2)=12AC2+12CH2+12AH2=12AC2+HN2+14AC2⩾34AC2+(ON−12AB)2,=34AC2+(12BC−12AB)2=AC2−12⋅AB⋅BC=4,因此 AC1 的最小值为 2,其中 N 为 AC 的中点,等号当 H 在 ON 上时取得.