每日一题[2933]两次中点

在直角三角形 ABC 中,AB=1BC=2D 为斜边 AC 上一动点,将 ABD 沿 BD 翻折到 A1BD,使得二面角 ABDA1π3,则 A1C 的最小值是_______.

答案    2

解析    作 AHBDH,连接 A1H,则 AHA1 为二面角 ABDA1 的平面角,进而 AHA1 为正三角形,A1 在底面 BCD 上的投影为 AH 的中点 M

此时 H 为以 AB 为直径的圆 OOAB 的中点)上运动.

因此A1C2=A1M2+MC2=3AM2+MC2=34AH2+(12AC2+12CH214AH2)=12AC2+12CH2+12AH2=12AC2+HN2+14AC234AC2+(ON12AB)2,=34AC2+(12BC12AB)2=AC212ABBC=4,因此 AC1 的最小值为 2,其中 NAC 的中点,等号当 HON 上时取得.

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