每日一题[2932]异面成角

在三棱锥 $O-ABC$ 中，$OA,OB,OC$ 两两垂直且相等，$P$ 是线段 $OA$ 上的动点，$Q$ 是平面 $BOC$ 上的动点，且满足 $OP=BQ\leqslant \dfrac 13OA$．设 $PQ$ 与 $OB$ 所成角为 $\theta$，则 $\cos\theta$ 的最小值为_______．

答案    $\dfrac{\sqrt 7}3$．

解析    建立空间直角坐标系 $O-ABC$，设 $P(1,0,0)$，$B(0,a,0)$，则 $$OA=OB=OC=a\geqslant 3,$$ 且 $Q(0,a+\cos\theta,\sin\theta)$（$\theta\in[0,2\pi)$），因此 $$\overrightarrow{PQ}=\left(-1,a+\cos\theta,\sin\theta\right),\quad \overrightarrow{OB}=(0,a,0),$$ 从而 $$\begin{split}\cos\theta&=\dfrac{\left|\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{OB}\right|}{\left|\overrightarrow{PQ}\right|\cdot \left|\overrightarrow{OB}\right|}\\ &=\dfrac{a+\cos\theta}{\sqrt{(a+\cos\theta)^2+\sin^2\theta}}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1-\cos^2\theta}{(a+\cos\theta)^2}}}\\ &\geqslant \dfrac1{\sqrt{1+\dfrac{1-\cos^2\theta}{(3+\cos\theta)^2}}}\\ &\geqslant \dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac 27}}=\dfrac{\sqrt 7}{3},\end{split}$$ 其中设 $t=\dfrac{1-\cos^2\theta}{(3+\cos\theta)^2}$，则 $$(t+1)\cos^2\theta+6t\cos\theta+(9t-2)=0,$$ 于是 $$\Delta=36t^2-4(t+1)(9t-2)\geqslant 0\implies t\leqslant \dfrac 27,$$ 等号当 $\cos\theta=-\dfrac 23$ 时取得，因此所求最小值为 $\dfrac{\sqrt 7}3$．