在三棱锥 O−ABC 中，OA,OB,OC 两两垂直且相等，P 是线段 OA 上的动点，Q 是平面 BOC 上的动点，且满足 OP=BQ⩽．设 PQ 与 OB 所成角为 \theta，则 \cos\theta 的最小值为_______．
答案 \dfrac{\sqrt 7}3．
解析 建立空间直角坐标系 O-ABC，设 P(1,0,0)，B(0,a,0)，则OA=OB=OC=a\geqslant 3,且 Q(0,a+\cos\theta,\sin\theta)（\theta\in[0,2\pi)），因此\overrightarrow{PQ}=\left(-1,a+\cos\theta,\sin\theta\right),\quad \overrightarrow{OB}=(0,a,0),从而\begin{split}\cos\theta&=\dfrac{\left|\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{OB}\right|}{\left|\overrightarrow{PQ}\right|\cdot \left|\overrightarrow{OB}\right|}\\ &=\dfrac{a+\cos\theta}{\sqrt{(a+\cos\theta)^2+\sin^2\theta}}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1-\cos^2\theta}{(a+\cos\theta)^2}}}\\ &\geqslant \dfrac1{\sqrt{1+\dfrac{1-\cos^2\theta}{(3+\cos\theta)^2}}}\\ &\geqslant \dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac 27}}=\dfrac{\sqrt 7}{3},\end{split}其中设 t=\dfrac{1-\cos^2\theta}{(3+\cos\theta)^2}，则(t+1)\cos^2\theta+6t\cos\theta+(9t-2)=0,于是\Delta=36t^2-4(t+1)(9t-2)\geqslant 0\implies t\leqslant \dfrac 27,等号当 \cos\theta=-\dfrac 23 时取得，因此所求最小值为 \dfrac{\sqrt 7}3．