每日一题[2931]焦点弦长

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ 的左、右焦点分别是 $F_1,F_2$，$P$ 是椭圆 $E$ 上一动点，且直线 $PF_1,PF_2$ 分别交椭圆 $E$ 于不同于点 $P$ 的点 $Q,R$．

1、当 $P$ 位于椭圆 $E$ 的上顶点时，求 $\triangle PQR$ 的面积．

2、求证：当 $\triangle PQR$ 的面积最大时，$P$ 位于椭圆 $E$ 的上顶点或下顶点．

解析

1、当 $P$ 位于椭圆 $E$ 的上顶点时，$\triangle PQR$ 是等腰三角形且 $PQ=PR$，焦点弦 $PQ$ 的倾斜角为 $\dfrac{\pi}6$，从而根据焦点弦长公式，有

$$[\triangle PQR]=\dfrac 12\cdot PQ^2\cdot \sin\angle F_1PF_2=\dfrac 12\left(\dfrac {4}{1+3\sin^2\dfrac{\pi}6}\right)^2\cdot \sin\dfrac{2\pi}3=\dfrac{64\sqrt 3}{49}.$$

2、设 $\angle PF_1F_2=\alpha$，$\angle PF_2F_1=\beta$，则根据正弦定理，有

$$\dfrac{PF_1}{F_1F_2}+\dfrac{PF_2}{F_1F_2}=\dfrac{2}{\sqrt 3}\implies \dfrac{\sin\alpha+\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}=\dfrac{2}{\sqrt 3}\implies \cos\dfrac{\alpha+\beta}2=\dfrac{\sqrt 3}2\cos\dfrac{\alpha-\beta}2,$$ 进而 $$\begin{split} [\triangle PQR]&=\dfrac 12\cdot PQ\cdot PR\cdot \sin\angle F_1PF_2\\ &=\dfrac 12\cdot \dfrac {4}{1+3\sin^2\alpha}\cdot \dfrac{4}{1+3\sin^2\beta}\cdot \sin(\alpha+\beta)\\ &=\dfrac{8\sin(\alpha+\beta)}{1+3(\sin^2\alpha+\sin^2\beta)+9\sin^2\alpha\sin^2\beta}\\ &=\dfrac{16\sin\dfrac{\alpha+\beta}2\cos\dfrac{\alpha+\beta}2}{1+6\left(\sin^2\dfrac{\alpha+\beta}2\cos^2\dfrac{\alpha-\beta}2+\cos^2\dfrac{\alpha+\beta}2\sin^2\dfrac{\alpha-\beta}2\right)+9\left(\cos^2\dfrac{\alpha-\beta}2-\cos^2\dfrac{\alpha+\beta}2\right)}\\ &=\dfrac{16\sqrt{\left(1-\dfrac 34t\right)\dfrac 34t}}{1+6\left(\left(1-\dfrac 34t\right)t+\dfrac 34t(1-t)\right)+9\left(t-\dfrac 34t\right)^2}\\ &=64\sqrt 3\cdot \sqrt{\dfrac t{(4-3t)(4+45t)^2}}\\ &\geqslant \dfrac{64\sqrt 3}{49} ,\end{split}$$ 其中 $t=\cos^2\dfrac{\alpha-\beta}2$，且 $$\dfrac{t}{(4-3t)(4+45t)^2}\geqslant \dfrac{1}{45}\iff (1-t)(64-945t+6074t^2)\geqslant 0,$$ 等号当且仅当 $t=1$ 时取得，因此当 $\triangle PQR$ 的面积最大时，$P$ 位于椭圆 $E$ 的上顶点或下顶点．