每日一题[2928]极值判断

已知函数 $f(x)=x^3+a x^2+b x+a^2$（$a, b \in \mathbb R$）．

1、若函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处有极值为 $10$，求 $b$ 的值．

2、若对于任意的 $a \in[-4,+\infty)$，$f(x)$ 在 $x \in[0,2]$ 上单调递增，求 $b$ 的最小值．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=3x^2+2ax+b,$$ 根据题意，有 $$\begin{cases} f'(1)=0,\\ f''(1)\ne 0, f(1)=10,\end{cases}\iff \begin{cases} 3+2a+b=0,\\ 6+2a\ne 0,\\ 1=a+b+a^2=10,\end{cases}\iff \begin{cases} a=4,\\ b=-11,\end{cases}$$ 因此 $b$ 的值为 $-11$．

2、根据题意，有 $$\forall (a\in [-4,+\infty)\land (x\in [0,2]),~3x^2+2ax+b\geqslant 0,$$ 即 $$\forall x\in [0,2],~3x^2-8x+b\geqslant 0,$$ 也即 $$\forall x\in[0,2],~b\geqslant -3x^2+8x,$$ 也即 $$\forall x\in[0,2],~b\geqslant -3\left(x-\dfrac 43\right)^2+\dfrac{16}3,$$ 进而可得 $b$ 的最小值为 $\dfrac{16}3$．