每日一题[2927]分割函数

已知函数 $f(x)=m x \ln x$，$m \in \mathbb{R}$．

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调区间．

2、当 $0<m \leqslant \dfrac{{\rm e}^2}{2}$ 时，证明：$f(x)<{\rm e}^x$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=m(1+\ln x),$$ 因此当 $m>0$ 时，函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(\dfrac{1}{\rm e},+\infty\right)$，单调递减区间是 $\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$；当 $m<0$ 时，函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$，单调递减区间是 $\left(\dfrac{1}{\rm e},+\infty\right)$；当 $m=0$ 时，函数 $f(x)$ 没有单调区间．

2、当 $x\in (0,1]$ 时，有 $$f(x)\leqslant 0<{\rm e}^x,$$ 命题成立． 当 $x\in (1,+\infty)$ 时，有 $$f(x)\leqslant \dfrac{{\rm e}^2}2x\ln x,$$ 因此只需要证明当 $x>1$ 时，有 $$\dfrac{{\rm e}^2\ln x}{2x}<\dfrac{{\rm e}^x}{x^2},$$ 事实上，有 $$\dfrac{{\rm e}^2\ln x}{2x}\leqslant \dfrac{{\rm e}^2}{2}\cdot \dfrac{1}{\rm e}=\dfrac{\rm e}2<\dfrac{{\rm e}^2}{4}\leqslant \dfrac{{\rm e}^2}{x^2},$$ 等号分别当 $x={\rm e}$ 和 $x=2$ 时取得，因此命题得证．