已知函数 f(x)=ex(xlnx+2e),g(x)=ax(a∈Z),其中 e 是自然对数的底数.
1、求函数 f(x) 在 x=1 处的切线方程.
2、当 x>0 时,f(x)>g(x) 恒成立,求 a 的最大值.
解析
1、函数 f(x) 的导函数为f′(x)=ex(xlnx+lnx+2e+1),于是 f(1)=2,f′(1)=e+2,因此所求切线方程为 y=(e+2)x−e.
2、根据题意,有∀x>0, ex(xlnx+2e)>ax,即∀x>0, a<ex(lnx+2ex),设不等式右侧函数为 h(x),则 h(1)=2,于是 a<2.接下来证明 a 的最大值为 1,只需要证明 h(x)>1,即证明xex<xlnx+2e,而xex⩽等号分别当 x=1 和 x=\dfrac{1}{\rm e} 时取得,因此命题得证. 综上所述,a 的最大值为 1