每日一题[2926]分割函数

已知函数 $f(x)={\rm e}^x\left(x \ln x+\dfrac{2}{{\rm e}}\right)$，$g(x)=a x$（$a \in\mathbb Z$），其中 ${\rm e}$ 是自然对数的底数．

1、求函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程．

2、当 $x>0$ 时，$f(x)>g(x)$ 恒成立，求 $a$ 的最大值．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数为

$$f'(x)={\rm e}^x\left(x\ln x+\ln x+\dfrac{2}{\rm e}+1\right),$$ 于是 $f(1)=2$，$f'(1)={\rm e}+2$，因此所求切线方程为 $y=({\rm e}+2)x-{\rm e}$．

2、根据题意，有

$$\forall x>0,~{\rm e}^x\left(x \ln x+\dfrac{2}{{\rm e}}\right)>ax,$$ 即 $$\forall x>0,~a<{\rm e}^x\left( \ln x+\dfrac{2}{{\rm e}x}\right),$$ 设不等式右侧函数为 $h(x)$，则 $h(1)=2$，于是 $a<2$．接下来证明 $a$ 的最大值为 $1$，只需要证明 $h(x)>1$，即证明 $$\dfrac{x}{{\rm e}^x}<x\ln x+\dfrac{2}{\rm e},$$ 而 $$\dfrac{x}{{\rm e}^x}\leqslant \dfrac{1}{\rm e}\leqslant x\ln x+\dfrac{2}{\rm e},$$ 等号分别当 $x=1$ 和 $x=\dfrac{1}{\rm e}$ 时取得，因此命题得证． 综上所述，$a$ 的最大值为 $1$