已知函数 f(x)=x2−axlnx+a+1（a∈R）．
1、当 a=1 时，求曲线 f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程．
2、若对于任意的 x∈[1,e]，都有 f(x)>0，求实数 a 的取值范围．
解析
1、当 a=1 时，有 f(x)=x2−xlnx+2，函数 f(x) 的导函数f′(x)=2x−lnx−1,
于是 f(1)=3，f′(1)=1，所求切线方程为 y=x+2．
2、根据题意，有∀x∈[1,e], x2−axlnx+a+1>0,
设 h(x)=x2+1xlnx−1，也即{∀x∈[1,m), a>h(x),∀x∈(m,e], a<h(x),
其中 mlnm=1（m∈(1,e)）．函数 h(x) 的导函数为h′(x)=(x+1)(x−1)(lnx−2x−1−1)(xlnx−1)2,
设 r(x)=lnx−2x−1−1，则 r(x) 在 [1,e] 上单调递增，而r(e)=−2e−1<0,
于是 h(x) 在 [1,m) 和 (m,e] 上均单调递减，于是x1(1,m)m−m+(m,e)eh(x)−2
−∞+∞e2+1e−1因此所求实数 a 的取值范围是 (−2,e2+1e−1)．