已知函数 $f(x)=x^2-a x \ln x+a+1$（$a \in \mathbb{R}$）．
1、当 $a=1$ 时，求曲线 $f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程．
2、若对于任意的 $x \in[1, \mathrm{e}]$，都有 $f(x)>0$，求实数 $a$ 的取值范围．
解析
1、当 $a=1$ 时，有 $f(x)=x^2-x\ln x+2$，函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=2x-\ln x-1,\]于是 $f(1)=3$，$f'(1)=1$，所求切线方程为 $y=x+2$．
2、根据题意，有\[\forall x\in [1,{\rm e}],~x^2-ax\ln x+a+1>0,\]设 $h(x)=\dfrac{x^2+1}{x\ln x-1}$，也即\[\begin{cases} \forall x\in [1,m),~a>h(x),\\ \forall x\in (m,{\rm e}],~a<h(x),\end{cases}\]其中 $m\ln m=1$（$m\in (1,{\rm e})$）．函数 $h(x)$ 的导函数为\[h'(x)=\dfrac{(x+1)(x-1)\left(\ln x-\dfrac{2}{x-1}-1\right)}{(x\ln x-1)^2},\]设 $r(x)=\ln x-\dfrac2{x-1}-1$，则 $r(x)$ 在 $[1,{\rm e}]$ 上单调递增，而\[r({\rm e})=-\dfrac{2}{{\rm e}-1}<0,\]于是 $h(x)$ 在 $[1,m)$ 和 $(m,{\rm e}]$ 上均单调递减，于是\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}\hline x&1&(1,m)&m^-&m^+&(m,{\rm e})&{\rm e}\\ \hline h(x)&-2&\searrow&-\infty&+\infty&\searrow&\dfrac{{\rm e}^2+1}{{\rm e}-1}\\ \hline\end{array}\]因此所求实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-2,\dfrac{{\rm e}^2+1}{{\rm e}-1}\right)$．