每日一题[2917]分离常数

已知函数 $f(x)={\rm e}^x-\dfrac{1}{2} a x^2-x$．

1、设 $f^{\prime}(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数，讨论函数 $y=f^{\prime}(x)$ 的单调性．

2、当 $a \leqslant 1-\dfrac{1}{\rm e}$ 时，求证：$f(x)+x-\ln (x+1) \geqslant 1$．

解析

1、根据题意，有 $$f'(x)={\rm e}^x-ax-1,$$ 函数 $f'(x)$ 的导函数 $$f''(x)={\rm e}^x-a,$$ 于是当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f'(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增； 当 $a>0$ 时，函数 $f'(x)$ 在 $(-\infty,\ln a)$ 上单调递减，在 $(\ln a,+\infty)$ 上单调递增．

2、只需要证明 $${\rm e}^x-\dfrac 12\left(1-\dfrac{1}{\rm e}\right)x^2-\ln(x+1)-1\geqslant 0,$$ 考虑到 $\ln(x+1)\leqslant x-1$，当 $x\geqslant 0$ 时，有 $${\rm e}^x\geqslant 1+x+\dfrac 12x^2,$$ 命题显然成立，于是只需要证明当 $x\in (-1,0)$ 时，有 $$\dfrac{{\rm e}^x-x-1}{x^2}\geqslant \dfrac 12\left(1-\dfrac{1}{\rm e}\right),$$ 设左侧函数为 $g(x)$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{{\rm e}^x(x-2)+x+2}{x^3},$$ 其分子部分设为 $h(x)$，则 $$h'(x)={\rm e}^x(x-1)+1,\quad h''(x)={\rm e}^xx,$$ 于是 $h'(x)$ 在 $(-1,0)$ 上单调递减，有 $h'(x)>h(0)=0$，于是 $h(x)$ 单调递增，有 $h(x)<h(0)=0$，因此 $g(x)$ 在 $(-1,0)$ 上单调递增，这样可得当 $x\in (-1,0)$ 时，有 $$g(x)>g(-1)=\dfrac{1}{\rm e}>\dfrac 12\left(1-\dfrac{1}{\rm e}\right),$$ 命题得证．