已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac{2 a}{x}$．
1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
2、证明：当 $a \geqslant \dfrac{1}{2}$ 时，$f(x)>{\rm e}^{-x}+\dfrac{1}{2}$．
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{x-2a}{x^2},\]讨论分界点为 $a=0$．
情形一 $a\leqslant 0$．此时函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．
情形二 $a>0$．此时函数 $f(x)$ 在 $(0,2a)$ 上单调递减，在 $(2a,+\infty)$ 上单调递增．
2、只需要证明\[\ln x+\dfrac 1x>{\rm e}^{-x}+\dfrac 12,\]即\[x\ln x+1-\dfrac 12x>x{\rm e}^{-x},\]而\[x\ln x+1-\dfrac 12x\geqslant 1-\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}>\dfrac{1}{\rm e}\geqslant x{\rm e}^{-x},\]等号分别当 $x=\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}$ 和 $x=1$ 时取得，其中\[1-\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}>\dfrac{1}{\rm e}\iff {\rm e}-\sqrt{\rm e}-1>0\iff \sqrt{\rm e}>\dfrac{1+\sqrt 5}2\iff {\rm e}>1.5+\dfrac{\sqrt 5}2.\] 综上所述，题中不等式得证．