每日一题[2915]分割函数

已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac{2 a}{x}$．

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．

2、证明：当 $a \geqslant \dfrac{1}{2}$ 时，$f(x)>{\rm e}^{-x}+\dfrac{1}{2}$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{x-2a}{x^2},$$ 讨论分界点为 $a=0$．

情形一     $a\leqslant 0$．此时函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．

情形二     $a>0$．此时函数 $f(x)$ 在 $(0,2a)$ 上单调递减，在 $(2a,+\infty)$ 上单调递增．

2、只需要证明 $$\ln x+\dfrac 1x>{\rm e}^{-x}+\dfrac 12,$$ 即 $$x\ln x+1-\dfrac 12x>x{\rm e}^{-x},$$ 而 $$x\ln x+1-\dfrac 12x\geqslant 1-\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}>\dfrac{1}{\rm e}\geqslant x{\rm e}^{-x},$$ 等号分别当 $x=\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}$ 和 $x=1$ 时取得，其中 $$1-\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}>\dfrac{1}{\rm e}\iff {\rm e}-\sqrt{\rm e}-1>0\iff \sqrt{\rm e}>\dfrac{1+\sqrt 5}2\iff {\rm e}>1.5+\dfrac{\sqrt 5}2.$$ 综上所述，题中不等式得证．