每日一题[2911]稀疏的立方数

求方程 $x^3-y^3=91$ 的全部整数解．

答案    $(6,5)$，$(-5,-6)$，$(4,-3)$，$(3,-4)$．

解析    写出立方数表 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline n&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline n^3&1&8&27&64&125&216&343&512\\ \hline\end{array}$$ [[case]]情形一[[/case]] $x,y>0$．此时有观察可得当 $x\leqslant 6$ 时，只有解 $(x,y)=(6,5)$，而当 $x\geqslant 7$ 时，有 $$x^3-y^3\geqslant x^3-(x-1)^3\geqslant 127>91,$$ 因此该情形只有解 $(x,y)=(6,5)$． [[case]]情形二[[/case]] $x,y <0$．此时即 $(-y)^3-(-x)^3=91$，根据情形一的结论，解为 $(x,y)=(-5,-6)$． [[case]]情形三[[/case]] $x>0>y$．此时即 $x^3+(-y)^3=91$，于是 $1\leqslant x,-y\leqslant 6$，只有解 $(x,-y)=(4,3),(3,4)$，对应 $(x,y)=(4,-3),(3,-4)$． 综上所述，所有整数解为 $(6,5)$，$(-5,-6)$，$(4,-3)$，$(3,-4)$．