每日一题[2908]分门别类

满足 $y=\sqrt{x+51}+\sqrt{x+2019}$ 的正整数对 $(x,y)$ 有_______对．

答案    $6$．

解析    设 $\sqrt{x+51}=m$，$\sqrt{x+2019}=n$，容易证明 $m,n$ 都是整数，进而

$$\begin{cases} m+n=y,\\ n^2-m^2=1968,\end{cases} \iff \begin{cases} y=n+m,\\ (n+m)(n-m)=2^4\cdot 3\cdot 41,\end{cases}$$ 考虑到 $n+m$ 与 $n-m$ 同奇或同偶，因此 $4$ 个 $2$ 不能同时分配给 $y$ 或者同时分配给 $n-m$，又 $n+m>n-m$，因此 $$(n+m,n-m)=(2^3\cdot 41\cdot 3,2),(2^3\cdot 41,2\cdot 3),(2^2\cdot 41\cdot 3,2^2),(2^2\cdot 41,2^2\cdot 3),(2\cdot 41\cdot 3,2^3),(2\cdot 41,2\cdot 3^3),$$ 此时 $m=\dfrac{(n+m)-(n-m)}2$ 均大于 $51$，符合题意，因此满足条件的正整数对共有 $6$ 对．