每日一题[2905]左右互搏

已知红箱内有 $5$ 个红球、$3$ 个白球，白箱内有 $3$ 个红球、$5$ 个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第 $k+1$ 次从与第 $k$ 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，记第 $n$ 次取出的球是红球的概率为 $P_n$，则下列说法正确的是 （       ）

A．$P_2=\dfrac{17}{32}$

B．$P_{n+1}=\dfrac{1}{2} P_n+\dfrac{7}{32}$

C．$P_{n+1}^2-P_{n+1}=P_n P_{n+2}-\dfrac{1}{2}\left(P_n+P_{n+2}\right)$

D．对任意的 $i, j \in \mathbb{N}^{*}$ 且 $1 \leqslant i<j \leqslant n$，$\displaystyle\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n}\left(P_i-\frac{1}{2}\right)\left(P_j-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{180}\left(1-4^{-n}\right)\left(1-4^{1-n}\right)$

答案    ACD．

解析    根据题意，有 $$P_{n+1}=P_n\cdot \dfrac 58+(1-P_n)\cdot \dfrac 38=\dfrac 14P_n+\dfrac 38,$$ 从而 $$P_n=\dfrac 12+\dfrac{1}{2^{2n+1}},$$ 选项 $\boxed{A}$ 正确，选项 $\boxed{B}$ 错误，选项 $\boxed{C}$ 正确． 对于选项 $\boxed{D}$，有 $$\begin{split}\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n}\left(P_i-\frac{1}{2}\right)\left(P_j-\frac{1}{2}\right)&=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}\left(\dfrac{1}{2^{2i+1}}\cdot \dfrac{1}{2^{2j+1}}\right)\\ &=\dfrac14\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n4^{-i-j}\\ &=\dfrac14\sum_{i=1}^{n-1}\dfrac{4^{-2i}-4^{-i-n}}{3}\\ &=\dfrac1{12}\left(\dfrac{1-4^{2-2n}}{15}-\dfrac{4^{-n}-4^{1-2n}}3\right)\\ &=\dfrac{1}{180}\left(1-4^{2-2n}-5\cdot 4^{-n}+5\cdot 4^{1-2n}\right)\\ &=\dfrac{1}{180}\left(1-5\cdot 4^{-n}+4\cdot 4^{-2n}\right)\\ &=\dfrac{1}{180}\left(1-4^{-n}\right)\left(1-4^{1-n}\right),\end{split}$$ 选项 $\boxed{D}$ 正确． 综上所述，正确的说法有 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．