已知红箱内有 5 个红球、3 个白球,白箱内有 3 个红球、5 个白球,所有小球大小、形状完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回去,第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球,然后再放回去,依次类推,第 k+1 次从与第 k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球,然后再放回去,记第 n 次取出的球是红球的概率为 Pn,则下列说法正确的是 ( )
A.P2=1732
B.Pn+1=12Pn+732
C.P2n+1−Pn+1=PnPn+2−12(Pn+Pn+2)
D.对任意的 i,j∈N∗ 且 1⩽i<j⩽n,∑1⩽i<j⩽n(Pi−12)(Pj−12)=1180(1−4−n)(1−41−n)
答案 ACD.
解析 根据题意,有Pn+1=Pn⋅58+(1−Pn)⋅38=14Pn+38,
从而Pn=12+122n+1,
选项 A 正确,选项 B 错误,选项 C 正确. 对于选项 D,有∑1⩽i<j⩽n(Pi−12)(Pj−12)=∑1⩽i<j⩽n(122i+1⋅122j+1)=14n−1∑i=1n∑j=i+14−i−j=14n−1∑i=14−2i−4−i−n3=112(1−42−2n15−4−n−41−2n3)=1180(1−42−2n−5⋅4−n+5⋅41−2n)=1180(1−5⋅4−n+4⋅4−2n)=1180(1−4−n)(1−41−n),
选项 D 正确. 综上所述,正确的说法有 A C D.