每日一题[2900]极值估计

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-\ln (x+a)$．

1、若 $a=2$，证明：$f(x)>\dfrac 16$．

2、若 $a=\dfrac 94$，证明：$f(x)>0$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)={\rm e}^x-\dfrac{1}{x+a},$$ 因此 $f'(x)$ 有唯一零点，记为 $m$，则 $${\rm e}^m=\dfrac{1}{m+a}\iff \ln(m+a)=-m,$$ 欲证明不等式即 $$f(m)>\dfrac 16\iff {\rm e}^m-\ln (m+a)>\dfrac 16\iff \dfrac{1}{m+a}+m>\dfrac 16.$$ 由基本放缩，可得 $$1-\dfrac{1}{m+a}<\ln(m+a)=-m<m+a-1,$$ 解得当 $a>1$ 时，有 $$\dfrac{1-a}2<m<\dfrac{\sqrt{5-2a+a^2}-(1+a)}2,$$ 由此可以估算 $f(m)$ 的范围为 $$\dfrac{5-a^2}{2(1+a)}<f(m)=\dfrac{1}{m+a}+m<\sqrt{5-2a+a^2}-a,$$ 将 $m=2$ 代入就证明了 $f(x)>\dfrac 16$．

2、当 $a=\dfrac 94$ 时，可得 $-1<m<0$，此时

$$\dfrac{2(m+a-1)}{m+a+1}<\ln(m+a)=-m<\dfrac 12\left(m+a-\dfrac{1}{m+a}\right),$$ 解得 $$\dfrac{-18+\sqrt{129}}{12}<m<\dfrac{-21+\sqrt{281}}{8},$$ 从而可以估算出 $f(m)$ 的范围为 $$0.03\cdots=-\dfrac{15}4+\sqrt{\dfrac{43}3}<f(m)<\dfrac{3}{136}\left(-115+7\sqrt{281}\right)=0.05\cdots,$$ 命题得证．

备注    实际上 $f(m)$ 的真实值为 $0.046\cdots$．