每日一题[2899]恰好齐平

已知函数 $f(x)=(x-2) \mathrm{e}^x+a(x-1)^2$．

1、讨论 $f(x)$ 的单调性．

2、若 $f(x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=(x-1)\left({\rm e}^{x}+2a\right),$$ 于是讨论分界点为 ${\rm e}+2a=0$ 以及 $a=0$．

情形一     $a<-\dfrac{\rm e}2$．此时 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,\ln(-2a))$ 上单调递减，在 $(\ln(-2a),+\infty)$ 上单调递增．

情形二    $a=-\dfrac{\rm e}2$．此时 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增．

情形三     $-\dfrac{\rm e}2<a<0$．此时 $f(x)$ 在 $(-\infty,\ln(-2a))$ 上单调递增，在 $(\ln(-2a),1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增．

情形四     $a\geqslant 0$．此时 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增．

2、根据题意，有 $f(1)=-{\rm e}$． 当 $a\geqslant 0$ 时，由于

$$\begin{array}{c|ccccc}\hline x&-\infty&(-\infty,1)&1&(1,+\infty)&+\infty\\ \hline f(x)&+\infty&\searrow&-{\rm e}&\nearrow&+\infty\\ \hline \end{array}$$ 因此 $f(x)$ 有两个零点，符合题意． 当 $a<0$ 时，若 $f(x)$ 有两个零点，则 $x=1$ 为极小值点，且极大值 $$f(\ln(-2a))=0\iff a\left(\ln^2(-2a)-4\ln(-2a)+5\right)=0,$$ 其中 $-\dfrac{\rm e}2<a<0$．上述方程无解． 综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(0,+\infty)$．