每日一题[2892]楚河汉界

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-x^2$．

1、求曲线 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程．

2、求证：当 $x>0$ 时，$\dfrac{\mathrm{e}^x+(2-\mathrm{e}) x-1}{x} \geqslant \ln x+1$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)={\rm e}^x-2x,$$ 于是 $f(1)={\rm e}-1$，$f'(1)={\rm e}-2$，从而所求切线方程为 $y=({\rm e}-2)x+1$．

2、设不等式左侧函数为 $g(x)$，则其导函数

$$g'(x)=\dfrac{{\rm e}^x(x-1)+1}{x^2},$$ 而 $\left({\rm e}^x(x-1)\right)'=x{\rm e}^x$，因此当 $x>0$ 时，$g'(x)>0$，于是 $g(x)$ 是上凸函数，取其在 $x=1$ 处的切线 $y=x$，可得 $$g(x)\geqslant x\geqslant \ln x+1,$$ 等号当 $x=1$ 时取得，命题得证．