每日一题[2886]估计极值点

已知函数 $f(x)=\ln x-a x$ 有两个不同的零点 $x_1 , x_2$（$x_1<x_2$），${\rm e}=2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数．

1、求实数 $a$ 的取值范围．

2、求证： ① $x_1<\dfrac{1-\sqrt{1-a \mathrm{e}}}{a}$． ② $\dfrac{x_2-x_1}{2}>\sqrt{\dfrac{\mathrm{e}}{a}-\mathrm{e}^2}$．

解析

1、方程 $f(x)=0$ 即 $\dfrac{\ln x}x=a$，由于 $\left(\dfrac{\ln x}x\right)'=\dfrac{1-\ln x}{x}$，因此

$$\begin{array}{c|ccccc}\hline x&0&(0,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)&+\infty \\ \hline \dfrac{\ln x}x&-\infty&\nearrow&\dfrac{1}{\rm e}&\searrow&0\\ \hline \end{array}$$ 于是实数 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$．

2、根据题意，有

$$\dfrac{\ln x_1}{x_1}=\dfrac{\ln x_2}{x_2}=a,\quad 1<x_1<{\rm e}<x_2,$$ 根据对数的基本放缩，有 $$1-\dfrac{\rm e}{x_1}<\ln\dfrac{x_1}{\rm e}<\dfrac{x_1}{\rm e}-1,$$ 即 $$1-\dfrac{\rm e}{x_1}<ax_1-1<\dfrac{x_1}{\rm e}-1,$$ 从而 $$\begin{cases} ax_1^2-2x_1+{\rm e}>0,\\ (1-a{\rm e})x_1>0,\end{cases}\implies x_1<\dfrac{1-\sqrt{1-a{\rm e}}}{a},$$ 同理，可得 $$x_2>\dfrac{1+\sqrt{1-a{\rm e}}}{a},$$ 从而 $$\dfrac{x_2-x_1}2>\dfrac{\sqrt{1-a{\rm e}}}a=\sqrt{1-a{\rm e}}\cdot \sqrt{\dfrac{\rm e}{a}}=\sqrt{\dfrac{\rm e}a-{\rm e}^2},$$ 命题得证．