每日一题[2885]过度放缩

已知函数 $f(x)=\ln\left(x-1\right)-k\left(x-1\right)+1$（$k\in \mathbb R$）．

1、求函数 $f(x)$ 的单调区间．

2、若 $f(x)\leqslant 0$ 恒成立，试确定实数 $k$ 的取值范围．

3、证明：$\dfrac{\ln 2}{3}+\dfrac{\ln3}{4}+\cdots+\dfrac{\ln n}{n+1}<\dfrac{n\left(n-1\right)}{4}$（$n\in \mathbb N$，$n>1$）．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{1}{x-1}-k,$$ 于是当 $k\leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(1,+\infty)$，没有单调递减区间；当 $k>0$ 时，函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(1,\dfrac{k+1}k\right)$，单调递减区间是 $\left(\dfrac{k+1}k,+\infty\right)$．

2、当 $k\leqslant 0$ 时，有 $f(2)=-k+1>0$，不符合题意． 当 $k>0$ 时，根据第 $(1)$ 小题的结果，函数 $f(x)$ 的最大值为

$$f\left(\dfrac{k+1}k\right)=\ln \dfrac 1k,$$ 因此 $f(x)\leqslant 0$ 恒成立即 $\ln\dfrac 1k\leqslant 0$，解得实数 $k$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$．

3、根据题意，当 $n\geqslant 2$ 时，有

$$LHS<\dfrac{\ln2}2+\dfrac{\ln3}3+\cdots+\dfrac{\ln n}{n}<\dfrac{n-1}{\rm e}<\dfrac{n(n-1)}4,$$ 命题得证．

备注    事实上，用积分放缩可得

$$\sum_{k=2}^n\dfrac{\ln k}{k}<\int_1^n\dfrac{\ln x}x{ {\rm d}} x=\dfrac{\ln ^2x}2\Bigg|_1^n=\dfrac{\ln^2n}2.$$