每日一题[2885]过度放缩

已知函数 f(x)=ln(x1)k(x1)+1kR).

1、求函数 f(x) 的单调区间.

2、若 f(x) 恒成立,试确定实数 k 的取值范围.

3、证明:\dfrac{\ln 2}{3}+\dfrac{\ln3}{4}+\cdots+\dfrac{\ln n}{n+1}<\dfrac{n\left(n-1\right)}{4}n\in \mathbb Nn>1).

解析

1、函数 f(x) 的导函数f'(x)=\dfrac{1}{x-1}-k,于是当 k\leqslant 0 时,函数 f(x) 的单调递增区间是 (1,+\infty),没有单调递减区间;当 k>0 时,函数 f(x) 的单调递增区间是 \left(1,\dfrac{k+1}k\right),单调递减区间是 \left(\dfrac{k+1}k,+\infty\right)

2、当 k\leqslant 0 时,有 f(2)=-k+1>0,不符合题意. 当 k>0 时,根据第 (1) 小题的结果,函数 f(x) 的最大值为f\left(\dfrac{k+1}k\right)=\ln \dfrac 1k,因此 f(x)\leqslant 0 恒成立即 \ln\dfrac 1k\leqslant 0,解得实数 k 的取值范围是 [1,+\infty)

3、根据题意,当 n\geqslant 2 时,有LHS<\dfrac{\ln2}2+\dfrac{\ln3}3+\cdots+\dfrac{\ln n}{n}<\dfrac{n-1}{\rm e}<\dfrac{n(n-1)}4,命题得证.

备注    事实上,用积分放缩可得\sum_{k=2}^n\dfrac{\ln k}{k}<\int_1^n\dfrac{\ln x}x{ {\rm d}} x=\dfrac{\ln ^2x}2\Bigg|_1^n=\dfrac{\ln^2n}2.

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