每日一题[2883]故技重施

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-x-a$，对于 $\forall x \in \mathbb{R} , ~f(x) \geqslant 0$ 恒成立．

1、求实数 $a$ 的取值范围．

2、证明：当 $x \in\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]$ 时，$\cos x+\tan x \leqslant \mathrm{e}^x$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数为 $$f'(x)={\rm e}^x-1,$$ 于是函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极小值也为最小值 $f(0)=1$，从而实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,1]$．

2、设函数 $g(x)={\rm e}^{-x}(\cos x+\tan x)$，则当 $x \in\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]$ 时，其导函数 $$\begin{split} g'(x)&={\rm e}^{-x}(-\cos x+\sec^2x-\sin x-\tan x)\\ &=-{\rm e}^{-x}\sec^2x\left(\cos^3x+\sin x\cos^2x+\sin x\cos x-1\right)\\ &=-{\rm e}^{-x}\sec^2x\left(\cos x(\cos^2x+\sin x\cos x)+\sin x\cos x-1\right)\\ &=-{\rm e}^{-x}\sec^2x\left(\dfrac 12\cos x(1+\cos 2x+\sin 2x)+\sin x\cos x-1\right)\\ &\leqslant -{\rm e}^{-x}\sec^2x\left(\cos x+\sin x\cos x-1\right)\\ &=-{\rm e}^{-x}\sec^2x\left(\sin x\cos x-2\sin^2\frac x2\right)\\ &=-{\rm e}^{-x}\sec^2x\cdot 2\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2\left(\cos x-\tan\dfrac x2\right)\\&\leqslant 0,\end{split}$$ 因此当 $x \in\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]$ 时函数 $g(x)$ 单调递减，从而 $g(x)\leqslant g(0)=1$，命题得证．