设点 $M$ 为椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 上的一动点，$A,B$ 分别为椭圆的左，右顶点．求证：当且仅当 $M$ 是椭圆的上顶点或下顶点时 $\triangle MAB$ 周长和面积取得最大值．
解析 由于 $|AB|$ 为定值 $2a$，因此当 $M$ 是椭圆的上顶点或下顶点时，视 $AB$ 为底边，$\triangle MAB$ 的高最大，此时面积取得最大值．下面证明当 $M$ 是椭圆的上顶点或下顶点时 $|MA|+|MB|$ 最大．设 $M(x_0,y_0)$，$A(-a,0)$，$B(a,0)$，则\[\begin{split} |MA|+|MB|&=\sqrt{(x_0+a)^2+y_0^2}+\sqrt{(x_0-a)^2+y_0^2}\\ &=\sqrt{(x_0+a)^2+b^2\left(1-\dfrac{x_0^2}{a^2}\right)}+\sqrt{(x_0-a)^2+b^2\left(1-\dfrac{x_0^2}{a^2}\right)}\\ &=\sqrt{\dfrac{a^2-b^2}{a^2}x_0^2+2ax_0+a^2+b^2}+\sqrt{\dfrac{a^2-b^2}{a^2}x_0^2-2ax_0+a^2+b^2}\\ &=\sqrt{\left(\dfrac{a^2-b^2}{a^2}-\dfrac{a^2}{a^2+b^2}\right)x_0^2+\left(\sqrt{a^2+b^2}+\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}x_0\right)^2}+\sqrt{\left(\dfrac{a^2-b^2}{a^2}-\dfrac{a^2}{a^2+b^2}\right)x_0^2+\left(\sqrt{a^2+b^2}-\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}x_0\right)^2}\\ &=\sqrt{-\dfrac{b^4}{a^2(a^2+b^2)}x_0^2+\left(\sqrt{a^2+b^2}+\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}x_0\right)^2}+\sqrt{-\dfrac{b^4}{a^2(a^2+b^2)}x_0^2+\left(\sqrt{a^2+b^2}-\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}x_0\right)^2}\\ &\leqslant \left(\sqrt{a^2+b^2}+\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}x_0\right)+\left(\sqrt{a^2+b^2}-\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}x_0\right)\\ &=2\sqrt{a^2+b^2} ,\end{split}\]等号当 $x_0=0$ 时取得，命题得证．