每日一题[2880]解三角形

已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的右顶点为 $A$，若以点 $A$ 为圆心，以 $b$ 为半径的圆与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M,N$ 两点，点 $O$ 为坐标原点，且 $\overrightarrow{OM}=5\overrightarrow{ON}$，则双曲线的离心率为_______．

答案    $\dfrac{\sqrt{15}}3$．

解析    如图，设 $ON=m$，$OM=5m$，$A$ 在 $OM$ 上的投影为 $H$，且 $HN=HM=2m$，不妨设 $a=1$，则

$$\begin{cases} AN^2-HN^2=AO^2-HO^2=AH^2,\\ \dfrac{AH^2}{ON^2}=\tan^2\angle HOA,\end{cases}\implies \begin{cases} b^2-4m^2=1-9m^2,\\ \dfrac{1-9m^2}{9m^2}=b^2,\end{cases}$$ 于是 $b^2=1-5m^2$，代入可得 $$(3m^2-1)(15m^2-1)=0,$$ 于是 $m^2=\dfrac 13$（$b^2=-\dfrac 23$，舍去）或 $m^2=\dfrac{1}{15}$，从而 $b^2=\dfrac 23$，离心率 $e=\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt{15}}3$．