每日一题[2877]“隐”零点

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x\left(x^2-(a+2) x+a+3\right)$．

1、讨论 $f(x)$ 的单调性．

2、若 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 有两个极值点 $x_1, x_2$，求证：$f\left(x_1\right) f\left(x_2\right)<4 \mathrm{e}^2$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)={\rm e}^x\left(x^2-ax+1\right),$$ 其中二次式部分的 $\Delta=a^2-4$，因此讨论的分界点为 $\pm 2$．

情形一    $a\in [-2,2]$．此时函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增．

情形二    $a\in (-\infty,-2)\cup (2,+\infty)$．此时函数 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}2\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}2,\dfrac{a+\sqrt{a^2-4}}2\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{a+\sqrt{a^2-4}}2,+\infty\right)$ 上单调递增．

2、设 $g(x)=x^2-ax+1$，根据题意，函数 $g(x)$ 在 $(0,2)$ 上有两个零点，从而 $$\begin{cases} g(0)>0,\\ g(2)>0,\\ 0<\dfrac a2<2,\\ \Delta=a^2-4>0,\end{cases}\iff 2<a<\dfrac 52,$$ 且 $x_1+x_2=a$，$x_1x_2=1$，因此 $$\begin{split} f(x_1)f(x_2)&={\rm e}^{x_1+x_2}\left(x_1^2-(a+2)x_1+a+3\right)\left(x_2^2-(a+2)x_2+a+3\right)\\ &={\rm e}^{x_1+x_2}\left(-2x_1+a+2\right)\left(-2x_2+a+2\right)\\ &={\rm e}^{x_1+x_2}\left(4x_1x_2-2(a+2)(x_1+x_2)+(a+2)^2\right)\\ &={\rm e}^a\left(8-a^2\right),\end{split}$$ 设 $h(x)={\rm e}^x\left(8-x^2\right)$，则 $$h'(x)={\rm e}^x\left(8-2x-x^2\right),$$ 而当 $x\in\left(2,\dfrac 52\right)$ 时，有 $8-2x-x^2<0$，因此 $h(x)$ 在 $x\in\left(2,\dfrac 52\right)$ 上单调递减，进而 $f(x_1)f(x_2)<h(2)=4{\rm e}^2$，命题得证．

备注    事实上，有 $-\dfrac{13}4{\rm e}^{\frac 52}<f(x_1)f(x_2)<4{\rm e}^2$．