每日一题[2876]“隐”零点

已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2} x^2-a x+\ln x$（$a>0$）．

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．

2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1 , x_2\left(x_1>x_2\right)$，且 $f\left(x_1\right)-x_1<\lambda x_2$（$\lambda \in \mathbb{R}$）恒成立，求 $\lambda$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{x^2-ax+1}{x},$$ 定义域为 $(0,+\infty)$，因此讨论分界点为 $2$．

情形一     $a\in (0,2]$．此时 $f'(x)\geqslant 0$，因此函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．

情形二    $a\in (2,+\infty)$．此时函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}2\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}2,\dfrac{a+\sqrt{a^2-4}}2\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{a+\sqrt{a^2-4}}2,+\infty\right)$ 上单调递增．

2、设 $g(x)=x^2-ax+1$，则 $x=x_1,x_2$ 是函数 $g(x)$ 的两个零点，根据第 $(1)$ 小题的结果，有 $a>2$，且 $x_1+x_2=a$，$x_1x_2=1$，进而 $x_1$ 的取值范围是 $(1,+\infty)$，题意即 $$\forall x_1\in(1,+\infty),~\lambda>x_1\left(f(x_1)-x_1\right),$$ 设 $h(x)=x\left(f(x)-x\right)$，则 $$h(x)=-\dfrac 12x^3-x^2-x+x\ln x,$$ 其导函数 $$h'(x)=-\dfrac 32x^2-2x+\ln x< \leqslant -\dfrac 32x^2-2x+(x-1)=-\dfrac 32x^2-x-1<0,$$ 因此 $h(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减，从而 $h(x)$ 在 $x\in (1,+\infty)$ 上的最大值为 $h(1)=-\dfrac 52$，因此 $\lambda$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac 52,+\infty\right)$．