已知 $g(x)=\dfrac{1}{2} a x^2-x \ln x+x$，当 $g(x)$ 有两个极值点 $x_1, x_2$（$x_1<x_2$）时，求证： \[ (2 a \mathrm{e}-1)\left(x_1+x_2\right)<2 \mathrm{e} . \]
解析 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=x\left(a-\dfrac{\ln x}x\right),\]由于 $\left(\dfrac{\ln x}x\right)'=\dfrac{1-\ln x}{x}$，因此\[\begin{array}{c|ccccc}\hline x&0&(0,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)&+\infty \\ \hline f(x)&-\infty&\nearrow&\dfrac{1}{\rm e}&\searrow&0\\ \hline \end{array}\]因此当 $g(x)$ 有两个极值点时，有 $0<a<\dfrac{1}{\rm e}$，且\[0<x_1<{\rm e}<x_2,\quad \dfrac{\ln x_1}{x_1}=\dfrac{\ln x_2}{x_2}=a,\]于是\[\begin{cases} \ln\dfrac{x_1}{\rm e}>\dfrac 12\left(\dfrac{x_1}{\rm e}-\dfrac{\rm e}{x_1}\right),\\ \ln\dfrac{x_2}{\rm e}<\dfrac 12\left(\dfrac{x_2}{\rm e}-\dfrac{\rm e}{x_2}\right),\end{cases}\implies \begin{cases} ax_1-1>\dfrac 12\left(\dfrac{x_1}{\rm e}-\dfrac{\rm e}{x_1}\right),\\ ax_2-1<\dfrac 12\left(\dfrac{x_2}{\rm e}-\dfrac{\rm e}{x_2}\right),\end{cases}\]整理可得\[\begin{cases} (1-2a{\rm e})x_1^2+2{\rm e}x_1-{\rm e}^2<0,\\ (1-2a{\rm e})x_2^2+2{\rm e}x_2-{\rm e}^2>0,\end{cases}\]两式相减可得\[(1-2ae)(x_1+x_2)(x_2-x_1)+2{\rm e}(x_2-x_1)>0\implies (2a{\rm e}-1)(x_1+x_2)<2{\rm e}.\]
备注
注一 直接两式相减，可得\[a(x_1-x_2)>\dfrac 12\left(\dfrac{x_1-x_2}{\rm e}+\dfrac{{\rm e}(x_1-x_2)}{x_1x_2}\right),\]即\[a<\dfrac 12\left(\dfrac{1}{\rm e}+\dfrac{\rm e}{x_1x_2}\right)\implies (2a{\rm e}-1)x_1x_2<{\rm e}^2.\]
注二 直接应用对数平均不等式，有\[\sqrt{x_1x_2}<\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=\dfrac 1a<\dfrac{x_1+x_2}2,\]从而\[x_1x_2<\dfrac 1{a^2},\quad x_1+x_2>\dfrac 2a.\]