已知数列 {an} 满足 a1=1,an+1an=a2n+2an+1,则使得 |√a2020−m| 最小的整数 m 是( )
A.65
B.64
C.63
D.62
答案 B.
解析 根据题意,有an+1=an+1an+2,因此 {an} 是正项数列,进而令 bn=√an,则bn+1=bn+1bn,问题即确定最接近 b2020 的整数.
一方面,有b2n+1−b2n=2+1b2n>2,于是有b2n⩾
另一方面,有b_{n+1}^2-b_n^2=2+\dfrac{1}{b_n^2}\leqslant 2+\dfrac{1}{2n-1},于是有b_n^2\leqslant b_1^2+2(n-1)+\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{2k-1}\leqslant 2n-1+\int_1^{n}\dfrac{1}{2x-1}{ {\rm d}} x=2n-1+\dfrac 12\ln(2n-1).
综上所述,有\sqrt{2n-1}\leqslant b_n\leqslant \sqrt{2n-1+\dfrac 12\ln(2n-1)},当 n=2020 时,有63.5<\sqrt{4039}\leqslant b_n\leqslant \sqrt{4039+\dfrac 12\ln 4039}<\sqrt{4039+\dfrac12{\log_2}4039}<\sqrt{4039+6}<64,因此满足条件的最小整数 m 是 64.