每日一题[2863]迭代估计

已知数列 {an} 满足 a1=1an+1an=a2n+2an+1,则使得 |a2020m| 最小的整数 m 是(       )

A.65

B.64

C.63

D.62

答案    B.

解析    根据题意,有an+1=an+1an+2,因此 {an} 是正项数列,进而令 bn=an,则bn+1=bn+1bn,问题即确定最接近 b2020 的整数.

一方面,有b2n+1b2n=2+1b2n>2,于是有b2n

另一方面,有b_{n+1}^2-b_n^2=2+\dfrac{1}{b_n^2}\leqslant 2+\dfrac{1}{2n-1},于是有b_n^2\leqslant b_1^2+2(n-1)+\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{2k-1}\leqslant 2n-1+\int_1^{n}\dfrac{1}{2x-1}{ {\rm d}} x=2n-1+\dfrac 12\ln(2n-1).

综上所述,有\sqrt{2n-1}\leqslant b_n\leqslant \sqrt{2n-1+\dfrac 12\ln(2n-1)},n=2020 时,有63.5<\sqrt{4039}\leqslant b_n\leqslant \sqrt{4039+\dfrac 12\ln 4039}<\sqrt{4039+\dfrac12{\log_2}4039}<\sqrt{4039+6}<64,因此满足条件的最小整数 m64

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