每日一题[2862]调和级数

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=1$，若 $a_{n+1}=\dfrac{(n+1) a_n}{n+1+a_n}$，则下列结论中正确的是（       ）

A．$\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n} \geqslant \dfrac{1}{2}$

B．$\dfrac{1}{a_{n+2}}-\dfrac{1}{a_n}<\dfrac{2}{\sqrt{(n+2)(n+1)}}$

C．$\dfrac{1}{a_{2 n}}-\dfrac{1}{a_n} \geqslant \dfrac{1}{2}$

D．$a_n \cdot \ln (n+1)>1$

答案    C．

解析    根据题意，有

$$\dfrac 1{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_n}+\dfrac1{n+1}\implies \dfrac{1}{a_n}=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}.$$

对于选项 $\boxed{A}$，有

$$\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{n+1}\leqslant \dfrac 12,$$ 命题错误；

对于选项 $\boxed{B}$，有

$$\dfrac{1}{a_{n+2}}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}\geqslant 2\sqrt{\dfrac{1}{n+1}\cdot \dfrac{1}{n+2}}=\dfrac{2}{\sqrt{(n+2)(n+1)}},$$ 命题错误；

对于选项 $\boxed{C}$，有

$$\dfrac{1}{a_{2n}}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac 1n+\dfrac1{n+1}+\cdots+ \dfrac{1}{2n}\geqslant \dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{2n}+\cdots+\dfrac{1}{2n}=\dfrac 12,$$ 命题正确；

对于选项 $\boxed{D}$，有

$$\dfrac{1}{a_n}=\sum_{k=1}^n\dfrac 1k\leqslant \int_1^{n+1}\dfrac 1x{ {\rm d}} x=\ln (n+1),$$ 命题正确． 综上所述，符合题意的结论只有选项 $\boxed{D}$．

备注    事实上，选项 $C$ 给出了调和级数发散的证明．