每日一题[2860]处理根式

设 $f\left(x\right) = \ln \left(x + 1\right) + \sqrt {x + 1} + ax + b$（$a,b \in {\mathbb{R}}$，$a,b$ 为常数），曲线 $y = f\left(x\right)$ 与直线 $y = \dfrac{3}{2}x$ 在 $\left( {0,0} \right)$ 点相切．

1、求 $a,b$ 的值．

2、证明：当 $0 < x < 2$ 时，$f\left(x\right) < \dfrac{9x}{x + 6}$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}+a,$$ 因此由曲线 $y = f\left(x\right)$ 与直线 $y = \dfrac{3}{2}x$ 在 $\left( {0,0} \right)$ 点相切，可得 $$\begin{cases} f(0)=0,\\ f'(0)=\dfrac32,\end{cases}\iff \begin{cases} 1+b=0,\\ \dfrac 32+a=\dfrac 32,\end{cases}\iff \begin{cases} a=0,\\ b=-1.\end{cases}$$

2、难点在于处理 $\sqrt{x+1}$，作换元，欲证不等式即 $$\forall x\in\left(1,\sqrt 3\right),~2\ln x+x-1<\dfrac{9(x^2-1)}{x^2+5},$$ 也即 $$\forall x\in \left(1,\sqrt 3\right),~\ln x<\dfrac{(x-1)\left(4+9x-x^2\right)}{2(x^2+5)},$$ 我们熟知 $\ln x< x-1$（$x>1$），于是尝试证明 $$\forall x\in \left(1,\sqrt 3\right),\dfrac{4+9x-x^2}{2(x^2+5)}\geqslant 1,$$ 也即 $$\forall x\in \left(1,\sqrt 3\right),~3(2-x)(x-1)\geqslant 0,$$ 这显然成立，于是命题得证．