每日一题[2859]基本放缩

已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac{1-x}{a x}$（$a \in \mathbb{R}$ 且 $a \neq 0$），$g(x)=bx-x \mathrm{e}^x-\dfrac{1}{x}$（$b \in \mathbb{R}$）．

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．

2、当 $a=1$ 时，若关于 $x$ 的不等式 $f(x)+g(x) \leqslant-2$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围．

解析

1、根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac 1{x^2}\cdot \left(x-\dfrac 1a\right),$$ 因此当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增；当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 1a\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac 1a,+\infty\right)$ 上单调递增．

2、根据题意，有

$$\forall x>0,~\ln x-1+bx-x{\rm e}^x\leqslant -2,$$ 也即 $$\forall x>0,~b\leqslant \dfrac{x{\rm e}^x-\ln x-1}{x}.$$ 由于 $$h(x)=\dfrac{x{\rm e}^x-\ln x-1}{x}=\dfrac{{\rm e}^{x+\ln x}-\ln x-1}{x}\geqslant \dfrac{(x+\ln x+1)-\ln x-1}{x}=1,$$ 等号当 $x+\ln x=0$ 时取得（该方程在 $\left({\rm e}^{-1},1\right)$ 上有实数解），因此 $h(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最小值为 $1$，从而实数 $b$ 的取值范围是 $(-\infty,1]$．