每日一题[2856]等域函数

对于集合 $A$，称定义域和值域均为 $A$ 的函数 $y=f(x)$ 为集合 $A$ 上的等域函数．

① 若 $A=\{1,2\}$，则 $A$ 上的等域函数有_______个；

② 若存在 $A=[m,n]$，使得 $f(x)=a(x-1)^2-1$ 为 $A$ 上的等域函数，实数 $a$ 的取值范围是_______．

答案    ① $2$；② $\left(-\dfrac 18,1\right]\setminus\{0\}$．

解析    ① $1\to 2,2\to 1$ 或者 $1\to 1,2\to 2$，共 $2$ 个函数；

② 按 $a$ 与 $0$ 的大小关系展开讨论．

情形一    若 $a\leqslant 0$，则 $f(x)\leqslant -1$，因此 $m<n\leqslant -1$，函数 $f(x)$ 在 $A$ 上值域为 $$\{y\mid f(m)\leqslant y\leqslant f(n)\},$$ 因此 $f(m)=m$ 且 $f(n)=n$，此时考虑方程 $f(x)=x$，即 $$ax^2-(2a+1)x+(a-1)=0,$$ 设左侧函数为 $g(x)$，则 $$\begin{cases} a\ne0,\\ g(-1)<0,\\ \dfrac{2a+1}{2a}<-1,\\ \Delta=8a+1>0,\end{cases}\iff a>-\dfrac 18,$$ 因此 $a$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac 18,0\right)$．

情形二    若 $a>0$，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增．

情形二 $(1)$    若 $m<n\leqslant 1$，则 $f(x)$ 在 $[m,n]$ 上单调递减，于是 $$\begin{cases} f(m)=n,\\ f(n)=m,\end{cases}$$ 两式相减可得 $$a(m-n)(m+n-2)=n-m\iff a(m+n-2)=-1\iff m+n-2+\dfrac1a=0,$$ 进而 $x=m,n$ 是关于 $x$ 的方程 $$f(x)=2-\dfrac 1a-x\iff ax^2-(2a-1)x-3+a+\dfrac 1a=0$$ 的两个根，考虑到 $m,n\leqslant 1$，对应 $a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac38,\dfrac 12\right]$．

情形二 $(2)$     若 $m\leqslant 1<n$，则 $f(x)$ 在 $[m,n]$ 上的最小值为 $f(1)=-1$，从而 $m=-1$，且 $$\max\{f(m),f(n)\}=n\iff \max\left\{4a-1,a(n-1)^2-1\right\}=n,$$ 也即 $$n=\begin{cases} 4a-1,&-1<n\leqslant 3,\\ a(n-1)^2-1,&n>3,\end{cases}\iff a=\begin{cases} \dfrac{n+1}4,&-1<n\leqslant 3,\\ \dfrac{(n+1)}{(n-1)^2},&n>3.\end{cases}$$ 因此 $a$ 的取值范围是 $(0,1]$．

情形二 $(3)$     若 $1<m<n$，则 $f(x)$ 在 $[m,n]$ 上单调递增，于是 $$\begin{cases} f(m)=m,\\ f(n)=n,\end{cases}$$ 因此 $x=m,n$ 是关于 $x$ 的方程 $$f(x)=x\iff ax^2-(2a+1)x-1=0$$ 的两个根，考虑到 $m,n>1$ 与两根之积，矛盾，此情形无解．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac 18,1\right]$．