已知 $f(x)=\dfrac1{1+x^2}$，$x_1+x_2+x_3\in [0,1]$且$x_1+x_2+x_3=1$，求证：\[\dfrac52\leqslant f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)\leqslant \dfrac{27}{10}.\]
解析 利用切割线放缩，尝试证明\[-\dfrac 12x+1\leqslant \dfrac{1}{1+x^2}\leqslant f\left(\dfrac13\right)+f'\left(\dfrac 13\right)\left(x-\dfrac13\right),\]其中左侧为过 $A(0,1)$，$B\left(1,\dfrac 12\right)$ 的割线，右侧为 $x=\dfrac13$ 处的切线．上述不等式即\[-\dfrac12x+1\leqslant \dfrac{1}{1+x^2}\leqslant -\dfrac{27}{50}\left(x-\dfrac 13\right)+\dfrac{9}{10},\]左侧不等式即\[x(x-1)^2\geqslant 0,\]右侧不等式即\[(3x-1)^2(4-3x)\geqslant 0,\]都显然成立． 因此分别取 $x=x_1,x_2,x_3$，累加即得\[3-\dfrac12(x_1+x_2+x_3)\leqslant f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)\leqslant 3f\left(\dfrac 13\right),\]左侧等号当 $(x_1,x_2,x_3)=\left(0,0,1\right)_{\rm cyc}$ 时取得，右侧等号当 $(x_1,x_2,x_3)=\left(\dfrac 13,\dfrac 13,\dfrac 13\right)$ 时取得，命题得证．