已知 f(x)=11+x2,x1+x2+x3∈[0,1]且x1+x2+x3=1,求证:52⩽f(x1)+f(x2)+f(x3)⩽2710.
解析 利用切割线放缩,尝试证明−12x+1⩽11+x2⩽f(13)+f′(13)(x−13),其中左侧为过 A(0,1),B(1,12) 的割线,右侧为 x=13 处的切线.上述不等式即−12x+1⩽11+x2⩽−2750(x−13)+910,左侧不等式即x(x−1)2⩾0,右侧不等式即(3x−1)2(4−3x)⩾0,都显然成立. 因此分别取 x=x1,x2,x3,累加即得3−12(x1+x2+x3)⩽f(x1)+f(x2)+f(x3)⩽3f(13),左侧等号当 (x1,x2,x3)=(0,0,1)cyc 时取得,右侧等号当 (x1,x2,x3)=(13,13,13) 时取得,命题得证.