每日一题[2853]切割线放缩

已知 $f(x)=\dfrac1{1+x^2}$，$x_1+x_2+x_3\in [0,1]$且$x_1+x_2+x_3=1$，求证：

$$\dfrac52\leqslant f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)\leqslant \dfrac{27}{10}.$$

解析    利用切割线放缩，尝试证明

$$-\dfrac 12x+1\leqslant \dfrac{1}{1+x^2}\leqslant f\left(\dfrac13\right)+f'\left(\dfrac 13\right)\left(x-\dfrac13\right),$$ 其中左侧为过 $A(0,1)$，$B\left(1,\dfrac 12\right)$ 的割线，右侧为 $x=\dfrac13$ 处的切线．上述不等式即 $$-\dfrac12x+1\leqslant \dfrac{1}{1+x^2}\leqslant -\dfrac{27}{50}\left(x-\dfrac 13\right)+\dfrac{9}{10},$$ 左侧不等式即 $$x(x-1)^2\geqslant 0,$$ 右侧不等式即 $$(3x-1)^2(4-3x)\geqslant 0,$$ 都显然成立． 因此分别取 $x=x_1,x_2,x_3$，累加即得 $$3-\dfrac12(x_1+x_2+x_3)\leqslant f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)\leqslant 3f\left(\dfrac 13\right),$$ 左侧等号当 $(x_1,x_2,x_3)=\left(0,0,1\right)_{\rm cyc}$ 时取得，右侧等号当 $(x_1,x_2,x_3)=\left(\dfrac 13,\dfrac 13,\dfrac 13\right)$ 时取得，命题得证．