每日一题[2853]切割线放缩

已知 f(x)=11+x2x1+x2+x3[0,1]x1+x2+x3=1,求证:52f(x1)+f(x2)+f(x3)2710.

解析    利用切割线放缩,尝试证明12x+111+x2f(13)+f(13)(x13),其中左侧为过 A(0,1)B(1,12) 的割线,右侧为 x=13 处的切线.上述不等式即12x+111+x22750(x13)+910,左侧不等式即x(x1)20,右侧不等式即(3x1)2(43x)0,都显然成立. 因此分别取 x=x1,x2,x3,累加即得312(x1+x2+x3)f(x1)+f(x2)+f(x3)3f(13),左侧等号当 (x1,x2,x3)=(0,0,1)cyc 时取得,右侧等号当 (x1,x2,x3)=(13,13,13) 时取得,命题得证.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复