每日一题[2845]步步紧逼

已知 $a,b,m,n$ 均为正数，且 $a + b = 1$，$mn = 2$，则 $\left( {am + bn} \right)\left( {bm + an} \right)$ 的最小值为_______．

答案    $2$．

解析    本题考查代数式的最值，简化表达式后利用基本不等式处理部分参数然后继续化简是解决问题的关键．

根据题意，有

$$\begin{split} \left( {am + bn} \right)\left( {bm + an} \right) &= ab{m^2} + {a^2}mn + {b^2}mn + ab{n^2} \\ & = ab\left( {{m^2} + {n^2}} \right) + 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\ &\geqslant 2ab \cdot mn + 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \\ & = 4ab + 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \\ & = 2\left( {{a^2} + {b^2} + 2ab} \right) \\ & = 2{\left( {a + b} \right)^2}\\ &= 2,\end{split}$$ 等号当 $m=n=\sqrt 2$ 时取得，因此所求最小值为 $2$．