每日一题[2844]揭示真相

在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,短轴长为 2,离心率为 22

1、求椭圆 C 的方程.

2、A,B 为椭圆 C 上满足 AOB 的面积为 64 的任意两点,E 为线段 AB 的中点,射线 OE 交椭圆 C 于点 P,设 OP=tOE,求实数 t 的值.

解析

1、本题考查椭圆的基本量与标准方程,用椭圆的基本量表达题中条件求解即可.

设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0),则{2b=2,1b2a2=22,{a=2,b=1,

因此所求椭圆 C 的方程为 x22+y2=1

2、本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,利用伸缩变换将 AOB 的面积为定值转化为几何性质然后利用图形求解是解决问题的关键.

在伸缩变换 x=xy=2y 下,椭圆 C 变为圆 x2+y2=2,此时设 A,B,E,P 的对应点分别为 A,B,E,P,则 AOB 的面积为 642=32,此时 |OA|=|OB|=2,因此 AOB=60,120,进而可得t=|OP||OE|=|OP||OE|=1cosAOB,

因此实数 t 的值为 2233

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每日一题[2844]揭示真相》有一条回应

  1. Avatar photo Fig-Newton说:

    考试用会扣分吗

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