每日一题[2844]揭示真相

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $C$ 的中心在原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，短轴长为 $ 2 $，离心率为 $\dfrac{\sqrt 2 }{2}$．

1、求椭圆 $C$ 的方程．

2、$A,B$ 为椭圆 $C$ 上满足 $\triangle AOB$ 的面积为 $\dfrac{\sqrt 6 }{4}$ 的任意两点，$E$ 为线段 $AB$ 的中点，射线 $OE$ 交椭圆 $C$ 于点 $P$，设 $\overrightarrow {OP} = t\overrightarrow {OE} $，求实数 $t$ 的值．

解析

1、本题考查椭圆的基本量与标准方程，用椭圆的基本量表达题中条件求解即可．

设椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），则\[\begin{cases} 2b=2,\\ \sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 2}2,\end{cases}\iff \begin{cases} a=\sqrt 2,\\ b=1,\end{cases}\]因此所求椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{2} + {y^2} = 1$．

2、本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，利用伸缩变换将 $\triangle AOB$ 的面积为定值转化为几何性质然后利用图形求解是解决问题的关键．

在伸缩变换 $x'=x$，$y'=\sqrt 2y$ 下，椭圆 $C$ 变为圆 $x'^2+y'^2=2$，此时设 $A,B,E,P$ 的对应点分别为 $A',B',E',P'$，则 $\triangle A'OB'$ 的面积为 $\dfrac{\sqrt 6}4\cdot \sqrt 2=\dfrac{\sqrt 3}2$，此时 $|OA'|=|OB'|=\sqrt 2$，因此 $\angle A'OB=60^\circ,120^\circ$，进而可得\[t=\dfrac{|OP|}{|OE|}=\dfrac{|OP'|}{|OE'|}=\dfrac{1}{\cos\angle A'OB},\]因此实数 $t$ 的值为 $2$ 或 $\dfrac{2\sqrt 3}3$．