在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,短轴长为 2,离心率为 √22.
1、求椭圆 C 的方程.
2、A,B 为椭圆 C 上满足 △AOB 的面积为 √64 的任意两点,E 为线段 AB 的中点,射线 OE 交椭圆 C 于点 P,设 →OP=t→OE,求实数 t 的值.
解析
1、本题考查椭圆的基本量与标准方程,用椭圆的基本量表达题中条件求解即可.
设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1(a>b>0),则{2b=2,√1−b2a2=√22,⟺{a=√2,b=1,
因此所求椭圆 C 的方程为 x22+y2=1.
2、本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,利用伸缩变换将 △AOB 的面积为定值转化为几何性质然后利用图形求解是解决问题的关键.
在伸缩变换 x′=x,y′=√2y 下,椭圆 C 变为圆 x′2+y′2=2,此时设 A,B,E,P 的对应点分别为 A′,B′,E′,P′,则 △A′OB′ 的面积为 √64⋅√2=√32,此时 |OA′|=|OB′|=√2,因此 ∠A′OB=60∘,120∘,进而可得t=|OP||OE|=|OP′||OE′|=1cos∠A′OB,
因此实数 t 的值为 2 或 2√33.
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