每日一题[2843]吸收系数

已知函数 $f\left(x\right) = a{x^2} + bx - \ln x$（$a,b \in {\mathbb{R}}$）．

1、设 $a \geqslant 0$，求 $f\left(x\right)$ 的单调区间．

2、设 $a > 0$，且对任意 $x > 0$，$f\left(x\right) \geqslant f\left(1\right)$，试比较 $\ln a$ 与 $- 2b$ 的大小．

解析

1、本题考查利用导数研究函数的单调性，根据导数的零点分布情况展开讨论是解决问题的关键．

根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{2ax^2+bx-1}{x}.$$

情形一     $a=0$ 且 $b\leqslant 0$．此时函数 $f(x)$ 的单调递减区间是 $(0,+\infty)$．

情形二     $a=0$ 且 $b>0$．此时函数 $f(x)$ 的单调递减区间是 $\left(0,\dfrac 1b\right)$，单调递增区间是 $\left(\dfrac 1b,+\infty\right)$．

情形三     $a>0$ 时．此时关于 $x$ 的方程 $2ax^2+bx-1=0$ 的正实数解为

$$x_0=\dfrac{-b+\sqrt{b^2+8a}}{4a},$$ 则函数 $f(x)$ 的单调递减区间是 $(0,x_0)$，单调递增区间是 $(x_0,+\infty)$．

2、本题考查利用导数研究函数的最值，利用对数函数的基本放缩可以更快完成大小比较．

根据题意，函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得最小值．结合第 $(1)$ 小题的结果，有 $f'(1)=0$ 即 $b=1-2a$，从而

$$\ln a-(-2b)=\ln a+2(1-2a)=\ln a-4a+2=\ln(4a)-4a+2-\ln 4\leqslant 1-\ln 4<0,$$ 其中用到了 $\ln x\leqslant x-1$，因此 $\ln a<-2b$．