每日一题[2841]两路合围

设函数 $f\left( x \right) = \dfrac{x}{{{{\mathrm{e}}^{2x}}}} + c$（${\mathrm{e}} = 2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数，$c \in {\mathbb{R}}$）．

1、求 $f\left( x \right)$ 的单调区间、最大值．

2、讨论关于 $x$ 的方程 $\left| {\ln x} \right| = f\left( x \right)$ 的实数解的个数．

解析

1、本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，根据导函数的零点展开讨论即可．

根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数

$${f}'\left(x\right)=\left(1-2x\right){{{\mathrm{e}}}^{-2x}} ,$$ 于是 $$\begin{array}{c|ccc}\hline x&\left(-\infty,\dfrac 12\right)&\dfrac 12&\left(\dfrac 12,+\infty\right)\\ \hline f'(x)&+&0&-\\ \hline f(x)&\nearrow&\text{极大值}~ \dfrac 12{\rm e}^{-1}+c&\searrow \\ \hline\end{array}$$ 因此函数 $f\left(x\right)$ 的单调递增区间是 $\left(-\infty ,\dfrac{1}{2}\right)$，单调递减区间是 $\left(\dfrac{1}{2},+\infty \right)$，极大值亦为最大值是 $\dfrac{1}{2}{{{\mathrm{e}}}^{-1}}+c$．

2、本题考查利用导数研究函数的零点，分析函数的单调性并论证两侧的极限是解决问题的关键．

设 $g(x)=|\ln x|-f(x)$，则

$$g(x)=\begin{cases} -\ln x-x{\rm e}^{-2x}-c,&x\in(0,1),\\ \ln x-x{\rm e}^{-2x}-c,&x\in (1,+\infty),\end{cases}$$ 其导函数 $$g'(x)=\begin{cases} {\rm e}^{-2x}\left(-\dfrac{{\rm e}^{2x}}{x}+2x-1\right),&x\in (0,1),\\ {\rm e}^{-2x}\left(\dfrac{{\rm e}^{2x}}{x}+2x-1\right),&x\in (1,+\infty),\end{cases}$$ 当 $x\in (0,1)$ 时，有 $$-\dfrac{{\rm e}^{2x}}{x}+2x-1<-\dfrac 1x+2x-1=\left(x-\dfrac 1x\right)+(x-1)<0,$$ 当 $x\in (1,+\infty)$ 时，有 $$\dfrac{{\rm e}^{2x}}{x}+2x-1>2x-1>0,$$ 因此函数 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=1$ 处取得最小值 $g(1)=-{\rm e}^{-2}-c$． 当 $x\in (0,1)$ 时，有 $$g(x)=-\ln x-x{\rm e}^{-2x}-c>-\ln x-1-c,$$ 因此当 $x<{\rm e}^{-1-c}$ 时，有 $g(x)>0$； 当 $x\in (1,+\infty)$ 时，有 $$g(x)=\ln x-x{\rm e}^{-2x}-c>\ln x-\dfrac x{1+2x}-c>\ln x-\dfrac 12-c,$$ 因此当 $x>{\rm e}^{1+c}$ 时，有 $g(x)>0$．

综上所述，关于 $x$ 的方程 $|\ln x|=f(x)$ 的实数解的个数为

$$\begin{cases} 0,&c<-{\rm e}^{-2},\\ 1,&c=-{\rm e}^{-2},\\ 2,&c>-{\rm e}^{-2}.\end{cases}$$