定义"正对数":ln+x={0,0<x<1,lnx,x⩾1, 现有四个命题:
① 若 a>0,b>0,则 ln+(ab)=bln+a;
② 若 a>0,b>0,则 ln+(ab)=ln+a+ln+b;
③ 若 a>0,b>0,则 ln+(ab)⩾ln+a−ln+b;
④ 若 a>0,b>0,则 ln+(a+b)⩽ln+a+ln+b+ln2.
其中真命题有_______(写出所有真命题的编号).
答案 ①③④.
解析 本题考查对新定义的理解和研究,利用对数的运算性质和新定义展开讨论即可.
① 对 a 展开讨论.aabln+abln+aln+(ab)(0,1)(0,1)000(1,+∞)(1,+∞)lnablnaln(ab)=blna 因此命题为真命题.
② 取 a=2,b=12,则 ab=1,于是ln+(ab)=0,ln+a+ln+b=ln2+0=ln2,因此命题为假命题.
③ 根据"正对数"的定义,ln+x 是不减且非负的函数,因此若 b⩾a,则ln+b⩾ln+a⟹ln+b+ln+(ab)⩾ln+a,命题成立;若 b<a,则 ab>1. 若 a⩾1,则ln+(ab)+ln+b=lnab+ln+b⩾lnab+lnb=lna=ln+a,命题成立; 若 a<1,则 ln+a=0,此时 ln+ab⩾0 且 ln+b⩾0,因此命题成立.
综上所述,命题是真命题.
④ 不妨设 a⩾b. 若 a+b⩾1,则ln+a+ln+b+ln2⩾lna+ln2=ln(2a)⩾ln(a+b)=ln+(a+b),命题成立; 若 a+b<1,则 ln+(a+b)=0,此时 ln+a,ln+b,ln2⩾0,命题成立.
综上所述,命题是真命题.