每日一题[2840]不减非负

定义"正对数":ln+x={0,0<x<1,lnx,x1, 现有四个命题:

① 若 a>0b>0,则 ln+(ab)=bln+a

② 若 a>0b>0,则 ln+(ab)=ln+a+ln+b

③ 若 a>0b>0,则 ln+(ab)ln+aln+b

④ 若 a>0b>0,则 ln+(a+b)ln+a+ln+b+ln2

其中真命题有_______(写出所有真命题的编号).

答案    ①③④.

解析    本题考查对新定义的理解和研究,利用对数的运算性质和新定义展开讨论即可.

① 对 a 展开讨论.aabln+abln+aln+(ab)(0,1)(0,1)000(1,+)(1,+)lnablnaln(ab)=blna 因此命题为真命题.

② 取 a=2b=12,则 ab=1,于是ln+(ab)=0,ln+a+ln+b=ln2+0=ln2,因此命题为假命题.

③ 根据"正对数"的定义,ln+x 是不减且非负的函数,因此若 ba,则ln+bln+aln+b+ln+(ab)ln+a,命题成立;若 b<a,则 ab>1. 若 a1,则ln+(ab)+ln+b=lnab+ln+blnab+lnb=lna=ln+a,命题成立; 若 a<1,则 ln+a=0,此时 ln+ab0ln+b0,因此命题成立.

综上所述,命题是真命题.

④ 不妨设 ab. 若 a+b1,则ln+a+ln+b+ln2lna+ln2=ln(2a)ln(a+b)=ln+(a+b),命题成立; 若 a+b<1,则 ln+(a+b)=0,此时 ln+a,ln+b,ln20,命题成立.

综上所述,命题是真命题.

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