每日一题[2840]不减非负

定义"正对数"：${\ln ^ + }x = {\begin{cases} 0,&0 < x < 1, \\ \ln x,&x \geqslant 1, \\ \end{cases}}$ 现有四个命题：

① 若 $a > 0$，$b > 0$，则 ${\ln ^ + }\left( {a^b} \right) = b{\ln ^ + }a$；

② 若 $a > 0$，$b > 0$，则 ${\ln ^ + }\left( {ab} \right) = {\ln ^ + }a + {\ln ^ + }b$；

③ 若 $a > 0$，$b > 0$，则 ${\ln ^ + }\left( {\dfrac{a}{b}} \right) \geqslant {\ln ^ + }a - {\ln ^ + }b$；

④ 若 $a > 0$，$b > 0$，则 ${\ln ^ + }\left( {a + b} \right) \leqslant {\ln ^ + }a + {\ln ^ + }b + \ln 2$．

其中真命题有_______（写出所有真命题的编号）．

答案    ①③④．

解析    本题考查对新定义的理解和研究，利用对数的运算性质和新定义展开讨论即可．

① 对 $a$ 展开讨论．

$$\begin{array}{c|ccc}\hline a&a^b&\ln^+a&b\ln^+a&\ln^+\left(a^b\right)\\ \hline (0,1)&(0,1)&0&0&0\\ \hline (1,+\infty)&(1,+\infty)&\ln a&b\ln a&\ln\left(a^b\right)=b\ln a\\ \hline \end{array}$$ 因此命题为真命题．

② 取 $a=2$，$b=\dfrac 12$，则 $ab=1$，于是

$$\ln^+(ab)=0,\quad \ln^+a+\ln^+b=\ln 2+0=\ln 2,$$ 因此命题为假命题．

③ 根据"正对数"的定义，$\ln^+x$ 是不减且非负的函数，因此若 $b\geqslant a$，则

$$\ln^+b\geqslant \ln^+a\implies \ln^+b+\ln^+\left(\dfrac ab\right)\geqslant \ln^+a,$$ 命题成立；若 $b<a$，则 $\dfrac ab>1$． 若 $a\geqslant 1$，则 $$\ln^+\left(\dfrac ab\right)+\ln^+b=\ln\dfrac ab+\ln^+b\geqslant \ln\dfrac ab+\ln b=\ln a=\ln^+a,$$ 命题成立； 若 $a<1$，则 $\ln^+a=0$，此时 $\ln^+\dfrac ab\geqslant 0$ 且 $\ln^+b\geqslant 0$，因此命题成立．

综上所述，命题是真命题．

④ 不妨设 $a\geqslant b$． 若 $a+b\geqslant 1$，则

$$\ln^+a+\ln^+b+\ln 2\geqslant \ln a+\ln 2=\ln (2a)\geqslant \ln (a+b)=\ln^+(a+b),$$ 命题成立； 若 $a+b<1$，则 $\ln^+(a+b)=0$，此时 $\ln^+a,\ln^+b,\ln 2\geqslant 0$，命题成立．

综上所述，命题是真命题．