每日一题[2839]铁打营盘流水兵

已知抛物线 $C$ 的顶点为原点，其焦点 $F\left(0,c\right)$（$c > 0$）到直线 $l:x - y - 2 = 0$ 的距离为 $\dfrac{3\sqrt 2 }{2}$．设 $P$ 为直线 $l$ 上的点，过点 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线 $PA,PB$，其中 $A,B$ 为切点．

1、求抛物线 $C$ 的方程．

2、当点 $P\left({x_0},{y_0}\right)$ 为直线 $l$ 上的定点时，求直线 $AB$ 的方程．

3、当点 $P$ 在直线 $l$ 上移动时，求 $|AF| \cdot |BF|$ 的最小值．

解析

1、本题考查点到直线的距离公式和抛物线的标准方程，列式求出 $c$ 后写出抛物线的标准方程即可． 根据点到直线的距离公式，有

$$\dfrac{|0-c-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{3\sqrt 2}2\iff c=1,$$ 因此抛物线 $C$ 的方程为 $x^2=4y$．

2、本题考查抛物线的切点弦方程，根据点的坐标列写切点弦方程即可． 当 $P$ 点坐标为 $(x_0,y_0)$ 时，对应的抛物线 $C$ 的切点弦方程为

$$AB:~x_0x=2(y+y_0).$$ 点 $P$ 在直线 $l$ 上，于是 $$x_0-y_0-2=0\iff y_0=x_0-2,$$ 于是 $$AB:~x_0x=2(y+x_0-2)\iff x_0x-2y-2(x_0-2)=0,$$

3、本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，以点的坐标作为参数表达条件和求解量并问题转化为约束条件下的代数式最值是解决问题的关键． 设 $A(4a,4a^2)$，$B(4b,4b^2)$，则

$$AB:~y=(a+b)x-4ab\iff 2(a+b)x-2y-8ab=0,$$ 与第 $(2)$ 小题的结论对比可得 $$\begin{cases} x_0=2(a+b),\\ x_0-2=4ab,\end{cases}\implies a+b=2ab+1,$$ 而 $$\begin{split} |AF|\cdot |BF|&=\left(4a^2+1\right)\left(4b^2+1\right)\\ &=16(ab)^2+4\left((a+b)^2-2ab\right)+1\\ &=16t^2+4((2t+1)^2-2t)+1\\ &=32t^2+8t+5\\ &\geqslant \dfrac 92,\end{split}$$ 其中 $t=ab$，等号当 $t=-\dfrac 18$ 时取得，因此所求最小值为 $\dfrac92$．