每日一题[2831]五马分尸

设双曲线 $C$ 的中心为点 $O$，若有且只有一对相交于点 $O$，所成的角为 $60^\circ$ 的直线 ${A_1}{B_1}$ 和 ${A_2}{B_2}$，使 $\left|{A_1}{B_1} \right| = \left|{A_2}{B_2} \right|$，其中 ${A_1},{B_1}$ 和 ${A_2},{B_2}$ 分别是这对直线与双曲线 $C$ 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（       ）

A．$\left( {\dfrac{2\sqrt 3 }{3},2} \right]$

B．$\left[ {\dfrac{2\sqrt 3 }{3},2} \right)$

C．$\left( {\dfrac{2\sqrt 3 }{3},+ \infty } \right)$

D．$\left[ {\dfrac{2\sqrt 3 }{3},+ \infty } \right)$

答案    A．

解析    本题考查双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系可以借助渐近线进行分析．

不妨设双曲线的虑焦点在 $x$ 轴上，由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于 $x$ 轴（或 $y$ 轴）对称，又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于 $30^\circ$ 且小于等于 $60^\circ$．

即

$$\tan 30^\circ < \dfrac{b}{a} \leqslant \tan 60^\circ \iff \dfrac{1}{3} < \dfrac{b^2}{a^2} \leqslant 3,$$ 于是 $$\dfrac{2\sqrt 3}3<\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}\leqslant 2,$$ 因此所求离心率的取值范围是 $\left(\dfrac{2\sqrt 3}3,2\right]$．