每日一题[2827]斜坐标系

已知点 $A\left(1, - 1\right),B\left(3,0\right),C\left(2,1\right)$．若平面区域 $D$ 由所有满足 $\overrightarrow {AP} = \lambda \overrightarrow {AB} + \mu \overrightarrow {AC}$（$1 \leqslant \lambda \leqslant 2$，$0 \leqslant \mu \leqslant 1$）的点 $P$ 组成，则 $D$ 的面积为______．

答案    $3$．

解析    本题考查平面向量的线性分解，类比于平面直角坐标系中的区域规划得到可行域后进行求解即可．

过 $P$ 作直线 $AB,AC$ 的平行线，分别交 $AC,AB$ 于点 $N,M$，设 $(\lambda,\mu)=(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)$ 对应的点分别为 $B,N_1,M_1,Q$，如图．

根据平面向量分解的法则，点 $P$ 在平行四边形 $BM_1QN_1$ 内部（包含边界）运动，而 $$|BM_1|=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt 5,\quad |BN_1|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt 5,$$ 而设 $\angle N_1BM_1=\angle BAC=\theta$，则 $$\cos\theta=\dfrac{\left|\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right|}{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}=\dfrac{4}{5},$$ 因此 $D$ 的面积为 $$|BM_1|\cdot |BN_1|\cdot \sin\theta=\sqrt 5\cdot \sqrt 5\cdot \dfrac 34=3.$$