每日一题[2826]大小错落

已知 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 $n$ 项的最大值记为 ${A_n}$，第 $n$ 项之后各项 ${a_{n + 1}}, {a_{n + 2}} , \cdots$ 的最小值记为 ${B_n}$，${d_n} = {A_n} - {B_n}$．

1、若 $\left\{ {a_n} \right\}$ 为 $2,1,4,3,2,1,4,3,\cdots$，是一个周期为 $4$ 的数列（即对任意 $n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$，${a_{n + 4}} = {a_n}$），写出 $d_1,d_2,d_3,d_4$ 的值．

2、设 $d$ 是非负整数，证明：${d_n} = - d$（${n = 1,2,3 \cdots }$）的充分必要条件为 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列．

3、证明：若 ${a_1} = 2$，${d_n} = 1$（${n = 1,2,3, \cdots }$），则 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的项只能是 $1$ 或者 $2$，且有无穷多项为 $1$．

解析

1、本题考查对新定义的理解，按照定义代入实际数据操作即可．

根据题意，有 $$\begin{array}{c|cccccccc}\hline n&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline a_n&2&1&4&3&2&1&4&3\\ \hline A_n&2&2&4&4&4&4&4&4\\ \hline B_n&1&1&1&1&1&1&1&1\\ \hline d_n&1&1&3&3&3&3&3&3\\ \hline \end{array}$$ 因此 ${d_1} = {d_2} = 1$，${d_3} = {d_4} = 3$．

2、本题考查对新定义的理解和等差数列的性质，找到新定义与等差数列的递推定义之间的联系是解决问题的关键．

充分性    若 $\{a_n\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，则由于 $d\in\mathbb N$，有 $$a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots \leqslant a_n\leqslant \cdots,$$ 从而 $$A_n=a_n,\quad B_n=a_{n+1},$$ 从而 $$d_n=A_n-B_n=a_n-a_{n+1}=-d,$$ 充分性得证．

必要性    若 $d_n=-d$，则根据题意，有 $$\begin{cases} A_n\geqslant a_n,\\ B_n\leqslant a_{n+1},\end{cases}\implies A_n-B_n\geqslant a_n-a_{n+1}\implies -d\geqslant a_n-a_{n+1}\implies a_n\leqslant a_{n+1},$$ 与在充分性的证明过程类似，有 $$A_n=a_n,\quad B_n=a_{n+1},$$ 于是 $$a_{n+1}-a_n=B_n-A_n=d,$$ 必要性得证．

综上所述，命题得证．

3、本题考查推理论证能力，对于“只能”“无穷”相关的命题用反证法得到比较强的条件进行推理论证是解决问题的关键．

记“$\{a_n\}$ 的项只能是 $1$ 或者 $2$”为命题 $p$，“$\{a_n\}$ 有无穷多项为 $1$”为命题 $q$． 因为 $a_1=2$，所以 $A_1=2$，又 $d_1=1$，于是 $B_1=1$，因此有 $$a_n\geqslant B_1=1,\quad n\in\mathbb N^{\ast}.$$

命题 $p$ 的证明．    若不然，假设 $\{a_n\}$ 中第一次出现不为 $1$ 和 $2$ 的项为 $a_m$，则 $$A_{m-1}=2,\quad B_{m-1}=A_{m-1}-d_{m-1}=1,$$ 而 $$A_m=a_m\geqslant 3,\quad B_m=A_m-d_m\geqslant 2,$$ 而 $$B_{m-1}=\min\{a_m,B_m\}=B_m,$$ 矛盾．因此 $\{a_n\}$ 的项只能是 $1$ 或者 $2$．

命题 $q$ 的证明．    若不然，假设 $\{a_n\}$ 中最后一个为 $1$ 的项为 $a_t$，那么当 $n>t$ 时，有 $a_n=2$，则 $$A_t=2,\quad B_t=2,$$ 进而 $d_t=A_t-B_t=0$，矛盾．因此 $\{a_n\}$ 有无穷多项为 $1$．

综上所述，$\left\{ {a_n} \right\}$ 的项只能是 $1$ 或者 $2$，且有无穷多项为 $1$．