每日一题[2825]此事古难全

已知 $A,B,C$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 上的三个点，$O$ 为坐标原点．

1、当 $B$ 是 $E$ 的右顶点，且四边形 $OABC$ 为菱形时，求此菱形的面积．

2、当点 $B$ 不是 $E$ 的顶点时，判断四边形 $OABC$ 是否可能是菱形，并说明理由．

解析

1、本题考查椭圆的基本量与方程，求解各顶点坐标再求面积即可．

此时 $B(2,0)$，$A,C$ 的坐标为 $\left(1,\dfrac{\sqrt 3}2\right)$，因此菱形的面积为 $\sqrt 3$．

2、本题考查椭圆的性质，利用椭圆的垂径定理证明对角线垂直和平分无法同时成立即可． 四边形 $OABC$ 不可能为菱形．

用反证法证明如下： 假设四边形 $OABC$ 是菱形．当点 $B$ 不是 $W$ 的顶点时，直线 $OB$ 和直线 $AC$ 的斜率都存在．菱形 $OABC$ 中 $OB$ 平分 $AC$，由椭圆的“垂径定理”得直线 $AC$ 与直线 $OB$ 的斜率之积为 $-\dfrac 14$，从而 $AC$ 与 $OB$ 不垂直，与四边形 $OABC$ 是菱形矛盾． 因此四边形 $OABC$ 不可能为菱形．