每日一题[2822]琴瑟和谐

已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点分别为 ${F_1},{F_2}$，离心率为 $3$，直线 $y = 2$ 与 $C$ 的两个交点间的距离为 $\sqrt 6$．

1、求 $a,b$．

2、设过 ${F_2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，且 $\left| {A{F_1}} \right| = \left| {B{F_1}} \right|$，证明：$\left| {A{F_2}} \right|,\left| {AB} \right|,\left| {B{F_2}} \right|$ 成等比数列．

解析

1、本题考查双曲线的标准方程与基本量，用基本量表示题目条件并求解即可．

根据双曲线的离心率为 $3$，可得

$$\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}=3\implies b^2=8a^2,$$ 因此 $C:8x^2-y^2=9a^2$，与 $y=2$ 联立可得 $$2\sqrt{a^2+\dfrac 12}=\sqrt 6\iff a^2=1,$$ 于是 $a=1$，$b=2\sqrt 2$．

2、本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，借助直线的参数方程联系已知条件和求解关系是解决问题的关键．

设直线 $l:\begin{cases} x=3+t,\\ y=kt,\end{cases}$ 点 $A,B$ 对应的参数分别为 $t_1,t_2$，联立直线与双曲线方程可得

$$8(t+3)^2-(kt)^2=8\iff (8-k^2)t^2+48t+64=0,$$ 因此 $AB$ 的中点 $M$ 对应的参数为 $$\dfrac{t_1+t_2}2=\dfrac{24}{k^2-8},$$ 进而 $M\left(\dfrac{3k^2}{k^2-8},\dfrac{24k}{k^2-8}\right)$．这样就有 $$|AF_1|=|BF_1|\iff F_1M\perp AF_2\iff \left(\dfrac{3k^2}{k^2-8}+3,\dfrac{24k}{k^2-8}\right)\cdot (1,k)=0,$$ 解得 $k^2=\dfrac 45$．此时 $$\dfrac{|AB|^2}{|AF_2|\cdot |BF_2|}=\dfrac{(t_1-t_2)^2}{t_1t_2}=\dfrac{(t_1+t_2)^2}{t_1t_2}-4=\dfrac{48^2}{64(8-k^2)}-4=1,$$ 因此 $\left| {A{F_2}} \right|,\left| {AB} \right|,\left| {B{F_2}} \right|$ 成等比数列，命题得证．