每日一题[2820]三角联姻

已知函数 $f\left( x \right) = \cos x\cdot \sin 2x$，下列结论中错误的是（       ）

A．$y = f\left( x \right)$ 的图象关于点 $\left( {{\mathrm \pi} ,0} \right)$ 中心对称

B．$y = f\left( x \right)$ 的图象关于 $x = \dfrac{\mathrm \pi} {2}$ 对称

C．$f\left( x \right)$ 的最大值为 $\dfrac{\sqrt 3 }{2}$

D．$f\left( x \right)$ 既是奇函数，又是周期函数

答案    C．

解析    本题考查三角函数的图象与性质，利用函数的对称性将函数的图象“压缩”到有限的范围，然后借助复合函数拆分并利用导数研究局部函数图象再进行“延拓”是解决问题的关键．

根据题意，有

$$f(x)=2\sin x\cos^2x,$$ 进而 $$f(x+\pi)=2\sin(x+\pi)\cos^2(x+\pi)=-f(x),$$ 而 $$f(\pi- x)=2\sin(\pi-x)\cos^2(\pi-x)=f(x),$$ 因此只需要画出 $f(x)$ 在 $\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$ 上的图象，就可以根据函数 $f(x)$ 关于 $x=\dfrac{\pi}2$ 对称得到函数 $f(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上的图象，进而由 $f(x+\pi)=-f(x)$ 得到函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上的图象． 当 $x\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$ 时，设 $t=\sin x$（$t\in [0,1]$），考虑函数 $y=2t(1-t^2)$，其导函数 $$y'_t=2(1-3t^2),$$ 于是 $$\begin{array}{c|ccccc}\hline t&0&\left(0,\dfrac{1}{\sqrt 3}\right)&\dfrac{1}{\sqrt 3}&\left(\dfrac{1}{\sqrt 3},1\right)&1\\ \hline y&0&\nearrow&\dfrac{4\sqrt 3}9&\searrow&0\\ \hline\end{array}$$ 因此 $f(x)$ 在 $(0,\varphi)$ 上单调递增，在 $\left(\varphi,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递减，在 $x=\varphi$ 处取得最大值 $\dfrac{4\sqrt 3}9$，其中 $\varphi=\arcsin\dfrac{1}{\sqrt 3}$，这样就可以得到函数 $f(x)$ 的图象，如图．

结合函数图象可知选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$ 均正确（$f(x)$ 的最小正周期为 $2\pi$），选项 $\boxed{C}$ 错误．