已知函数 $f\left( x \right) = \cos x\cdot \sin 2x$，下列结论中错误的是（ ）
A．$y = f\left( x \right)$ 的图象关于点 $\left( {{\mathrm \pi} ,0} \right)$ 中心对称
B．$y = f\left( x \right)$ 的图象关于 $x = \dfrac{\mathrm \pi} {2}$ 对称
C．$f\left( x \right)$ 的最大值为 $\dfrac{\sqrt 3 }{2}$
D．$f\left( x \right)$ 既是奇函数，又是周期函数
答案 C．
解析 本题考查三角函数的图象与性质，利用函数的对称性将函数的图象“压缩”到有限的范围，然后借助复合函数拆分并利用导数研究局部函数图象再进行“延拓”是解决问题的关键．
根据题意，有\[f(x)=2\sin x\cos^2x,\]进而\[f(x+\pi)=2\sin(x+\pi)\cos^2(x+\pi)=-f(x),\]而\[f(\pi- x)=2\sin(\pi-x)\cos^2(\pi-x)=f(x),\]因此只需要画出 $ f(x)$ 在 $ \left[0,\dfrac{\pi}2\right] $ 上的图象，就可以根据函数 $ f(x)$ 关于 $ x=\dfrac{\pi}2 $ 对称得到函数 $ f(x)$ 在 $ [0,\pi] $ 上的图象，进而由 $ f(x+\pi)=-f(x)$ 得到函数 $ f(x)$ 在 $ \mathbb R $ 上的图象． 当 $ x\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right] $ 时，设 $ t=\sin x $（$ t\in [0,1] $），考虑函数 $ y=2t(1-t^2)$，其导函数\[y'_t=2(1-3t^2),\]于是\[\begin{array}{c|ccccc}\hline t&0&\left(0,\dfrac{1}{\sqrt 3}\right)&\dfrac{1}{\sqrt 3}&\left(\dfrac{1}{\sqrt 3},1\right)&1\\ \hline y&0&\nearrow&\dfrac{4\sqrt 3}9&\searrow&0\\ \hline\end{array}\]因此 $f(x)$ 在 $(0,\varphi)$ 上单调递增，在 $\left(\varphi,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递减，在 $x=\varphi$ 处取得最大值 $\dfrac{4\sqrt 3}9$，其中 $\varphi=\arcsin\dfrac{1}{\sqrt 3}$，这样就可以得到函数 $f(x)$ 的图象，如图．
结合函数图象可知选项 $ \boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D} $ 均正确（$ f(x)$ 的最小正周期为 $ 2\pi $），选项 $ \boxed{C}$ 错误．