每日一题[2818]极点极线

已知抛物线 $C:{y^2} = 8x$ 与点 $M\left( { - 2,2} \right)$，过 $C$ 的焦点且斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，若 $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 0$，则 $k =$（       ）

A．$\dfrac{1}{2}$

B．$\dfrac{\sqrt 2 }{2}$

C．$\sqrt 2$

D．$2$

答案    D．

解析    本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，根据抛物线的切点性质求出极线 $AB$ 的方程是解决问题的关键．

根据题意，点 $M$ 在抛物线 $C$ 的准线 $x=-2$ 上．根据抛物线的切点弦性质，设抛物线在点 $A,B$ 处的切线交于点 $N$ 且 $\angle ANB=90^\circ$，即以 $AB$ 为直径的圆与准线 $x=-2$ 相切于点 $N$，由 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$ 可知 $M=N$，因此极点 $M(-2,2)$ 对抛物线的极线 $$AB:2y=4(x-2),$$ 进而直线 $AB$ 的斜率为 $2$．