每日一题[2815]强制分离

设函数 $f\left( x \right) = {x^2} + ax + b$，$g\left( x \right) = {\mathrm{e}}^x\left( {cx + d} \right)$，若曲线 $y = f\left( x \right)$ 和曲线 $y = g\left( x \right)$ 都过点 $P\left( {0,2} \right)$，且在点 $P$ 处有相同的切线 $y = 4x + 2$．

1、求 $a,b,c,d$ 的值．

2、若 $x \geqslant - 2$ 时，$f\left( x \right) \leqslant kg\left( x \right)$，求 $k$ 的取值范围．

解析

1、本题考查利用导数研究函数的切线，根据导数的几何意义列方程求解即可．

根据题意，函数 $f(x),g(x)$ 的导函数分别是

$$f'(x)=2x+a,\quad g'(x)={\rm e}^x(cx+c+d),$$ 从而有 $$\begin{cases} f(0)=2,\\ g(0)=2,\\ f'(0)=4,\\ g'(0)=4,\end{cases}\iff \begin{cases} b=2,\\ d=2,\\ a=4,\\ c+d=4,\end{cases}\iff \begin{cases} a=4,\\ b=2,\\ c=2,\\ d=2.\end{cases}$$

2、本题考查含参不等式恒成立，分离变量后通过求导研究函数的最值是解决问题的关键．

根据第 $(1)$ 小题的结果，有

$$f(x)=x^2+4x+2,\quad g(x)=2{\rm e}^x(x+1).$$ 根据题意，有 $$\forall x\geqslant -2,~x^2+4x+2\leqslant 2k{\rm e}^x(x+1),$$ 也即 $$\begin{cases} \forall x\in [-2,-1),~k\leqslant \dfrac{x^2+4x+2}{2(x+1)}{\rm e}^{-x},\\ \forall x\in (-1,+\infty),~k\geqslant \dfrac{x^2+4x+2}{2(x+1)}{\rm e}^{-x},\end{cases}$$ 设 $h(x)=\dfrac{x^2+4x+2}{2(x+1)}{\rm e}^{-x}$，则其导函数 $$h'(x)=-\dfrac x{x+1}\cdot \dfrac{(x+2)^2}{2{\rm e}^x},$$ 因此 $$\begin{array}{c|ccccc}\hline x&-2&(-2,-1)&(-1,0)&0&(0,+\infty)\\ \hline h'(x)&0&+&+&0&-\\ \hline h(x)&{\rm e}^2&\nearrow&\nearrow&1&\searrow\\ \hline \end{array}$$ 从而 $h(x)$ 在 $[-2,-1)$ 上的最小值为 ${\rm e}^2$，在 $(-1,+\infty)$ 上的最大值为 $1$，因此 $k$ 的取值范围是 $\left[1,{\rm e}^2\right]$．