每日一题[2811]化椭为圆

平面直角坐标系 $xOy$ 中，过椭圆 $M:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）右焦点的直线 $x + y - \sqrt 3 = 0$ 交 $M$ 于 $A,B$ 两点，$P$ 为 $AB$ 的中点，且 $OP$ 的斜率为 $\dfrac{1}{2}$．

1、求 $M$ 的方程．

2、$C,D$ 为 $M$ 上两点，若四边形 $ACBD$ 的对角线 $CD \perp AB$，求四边形 $ACBD$ 面积的最大值．

解析

1、本题考查椭圆的性质与标准方程，根据椭圆的垂径定理得到基本量的关系求解即可．

根据题意，椭圆的右焦点为 $F\left(\sqrt 3,0\right)$，又椭圆的垂径定理，有

$$-\dfrac {b^2}{a^2}=-\dfrac 12,$$ 从而可得椭圆 $M$ 的方程为 $\dfrac{x^2}6+\dfrac{y^2}3=1$．

2、本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，通过伸缩变换简化问题是解决问题的关键．

根据题意，直线 $AB$ 的斜率为 $-1$，直线 $CD$ 的斜率为 $1$．在伸缩变换 $x'=x$，$y'=\sqrt 2y$ 下，设 $A,B,C,D$ 的对应点分别为 $A',B',C',D'$，则直线 $A'B'$ 和 $C'D'$ 的斜率分别为 $-\sqrt 2$ 和 $\sqrt 2$，且 $A',B'$ 为定点，因此当 $C'D'$ 为圆 $x'^2+y'^2=6$ 的直径时，四边形 $A'C'B'D'$ 的面积最大，此时四边形 $ACBD$ 的面积最大，也即当 $CD:y=x$ 时，四边形 $ACBD$ 的面积最大，此时 $|CD|=4$．

根据焦点弦长公式，有

$$|AB|=\dfrac{2ab^2}{b^2+c^2\sin^2\alpha}=\dfrac{4\sqrt 6}{3},$$ 其中 $c$ 为椭圆的半焦距，$\alpha=\dfrac{3\pi}4$ 为直线 $x+y-\sqrt 3=0$ 的倾斜角．因此四边形 $ACBD$ 面积的最大值为 $$\dfrac 12\cdot \dfrac{4\sqrt 6}3\cdot 4=\dfrac{8\sqrt 6}3.$$