等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$,已知 $S_{10}=0$,$S_{15}=25$,则 $nS_{n}$ 的最小值为_______.
答案 $-49$.
解析 本题考查数列的单调性,可以借助均值不等式寻找最值的可能位置然后求解.
设 $S_n=An^2+Bn$,则\[\begin{cases} S_{10}=0,\\ S_{15}=25,\end{cases}\iff \begin{cases} 100A+10B=0,\\ 225A+15B=25,\end{cases}\iff \begin{cases} A=\dfrac13,\\ B=-\dfrac{10}3.\end{cases}\]于是\[nS_n=\dfrac{n^2(n-10)}3=-\dfrac{n\cdot n\cdot (20-2n)}6,\]根据均值不等式,$nS_n$ 在 $n=\dfrac{20}3$ 附近取得最小值,当 $n=6$ 时,$nS_n=-48$;当 $n=7$ 时,$nS_n=-49$,因此所求最小值为 $-49$.