等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值为_______.
答案 −49.
解析 本题考查数列的单调性,可以借助均值不等式寻找最值的可能位置然后求解.
设 Sn=An2+Bn,则{S10=0,S15=25,⟺{100A+10B=0,225A+15B=25,⟺{A=13,B=−103.
于是nSn=n2(n−10)3=−n⋅n⋅(20−2n)6,
根据均值不等式,nSn 在 n=203 附近取得最小值,当 n=6 时,nSn=−48;当 n=7 时,nSn=−49,因此所求最小值为 −49.